題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時,,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時,,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時,,令得
當(dāng)變化時,的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,。∴在上的最大值為2.
②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;
當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增。∴在最大值為。
綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求,則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上
長沙市某民營化工企業(yè)經(jīng)過近十年打拼,目前凈資產(chǎn)已達3千萬元. 由于種種原因,影響了企業(yè)的進一步發(fā)展,企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)班子決定對企業(yè)內(nèi)部所有環(huán)節(jié)進行改革. 據(jù)市場調(diào)查報告顯示:在未來五年內(nèi),若引進新的技術(shù)及設(shè)備改造后,企業(yè)的生產(chǎn)總量為x千噸,最大限度不能超過4千噸,而每千噸銷售可獲純利P(x)與生產(chǎn)總量x的函數(shù)關(guān)系為 由于該企業(yè)的產(chǎn)品市場占有量較大,產(chǎn)量的大小對每千噸產(chǎn)品的純利潤影響較大. 如果企業(yè)的生產(chǎn)總量為1千噸時,市場該產(chǎn)品每千噸銷售可獲純利萬元,如果生產(chǎn)總量達到最大限度值4千噸,此時市場需求趨于飽和狀態(tài),每千噸銷售只能獲純利萬元.企業(yè)在人員工資給、產(chǎn)品廣告費用及環(huán)境污染治理等方面需投入每千噸1萬元.
(1)求出常數(shù)a,b的值;
(2)求出該企業(yè)在未來五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額(單位:千萬元)關(guān)于生產(chǎn)總量x(單位:千噸)的函數(shù)表達式;
(3)當(dāng)生產(chǎn)總量x(單位:千噸)取值為多少時,該企業(yè)在未來五年內(nèi)凈資產(chǎn)的總額(單位:千萬元)取最大值,并求出此最大值.
已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(1,3),頂點C在第一象限,若點(x,y)在△ABC內(nèi)部,則z=-x+y的取值范圍是
(A)(1-,2) (B)(0,2) (C)(-1,2) (D)(0,1+)
【解析】 做出三角形的區(qū)域如圖,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點B時,截距最大,此時,當(dāng)直線經(jīng)過點C時,直線截距最小.因為軸,所以,三角形的邊長為2,設(shè),則,解得,,因為頂點C在第一象限,所以,即代入直線得,所以的取值范圍是,選A.
已知函數(shù),其中.
(1)若在處取得極值,求曲線在點處的切線方程;
(2)討論函數(shù)在的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)在上的最小值為2,求的取值范圍.
【解析】第一問,因在處取得極值
所以,,解得,此時,可得求曲線在點
處的切線方程為:
第二問中,易得的分母大于零,
①當(dāng)時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,由可得,由解得
第三問,當(dāng)時由(2)可知,在上處取得最小值,
當(dāng)時由(2)可知在處取得最小值,不符合題意.
綜上,函數(shù)在上的最小值為2時,求的取值范圍是
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