已知函數(shù)．(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù).求a的取值范圍, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=f（x+1）-f（x），有以下命題：
①函數(shù)f（x）可以為一次函數(shù)；      
②函數(shù)f（x）的最小正周期一定為6；
③若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f（1）=0，則在區(qū)間[-5，5]上至少有11個(gè)零點(diǎn)；
④若ω、φ∈R且ω≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)ω=2kπ+
π
3
（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）滿(mǎn)足已知條件．
其中錯(cuò)誤的是（　　）

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若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）已知f(x)=x
12
是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（2）試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對(duì)任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定義域在R上的減函數(shù)，且A、B、C是其圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，求證：△ABC是鈍角三角形．

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上的“k階增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-a，其中a為正常數(shù)，若f（x）為R上的“2階增函數(shù)”，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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已知函數(shù)．
（1）若y=f（x）在x=1處的極值為，求y=f（x）的解析式并確定其單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，若y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，求當(dāng)時(shí)a的取值范圍．

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一、選擇題（每小題5分，共40分）

1－8．BACDD    CCD

二、填空題（每小題5分，共30分）

9． 必要非充分

10．  4 

11． 3

12．（e，e）          

13． x + 6     說(shuō)明：f（x） = ax + 6 （a = 1，2，3，4，5）均滿(mǎn)足條件．

14．   10  ．

 

三、解答題（共80分）

15．（12分）

．

16．（13分）

（1）當(dāng)6≤t<9時(shí).（2分）

    （3分）

   

    （5分）

    （分鐘）（6分）

（2）

    ∴（分鐘）（8分）

（3）

∴（分鐘）

綜上所述，上午8時(shí)，通過(guò)該路段用時(shí)最多，為18.75分鐘。（13分）

17．（13分）

，∴（4分）

∴（6分）

“有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足”，即拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，∴（10分）

∴

∴（13分）

18．（14分）

19．（14分）

（1），∴．

要使函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0，

當(dāng)在內(nèi)恒成立；

當(dāng)要使恒成立，則，解得，

當(dāng)要使恒成立，則，解得，

所以的取值范圍為或或．

根據(jù)題意得：，∴

于是，

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng)，不等式成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即也成立，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)，不等式也成立，

綜上得對(duì)所有時(shí)5，都有．

（3） 由（2）得，

于是，

所以，

累乘得：，

所以．

20．（14分）

（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），

對(duì)于定義域內(nèi)的每個(gè)x值都成立

∴ f（x）為奇函數(shù)（4分）

（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為4a．（8分）

（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0，

f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= = = - 1．

先證明f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時(shí)，f（x） < 0，

設(shè)2a < x < 3a，則0 < x - 2a < a，

∴ f（x - 2a）= = - > 0，

∴ f（x）< 0（10分）

設(shè)2a < x1 < x2 < 3a，

則0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0   f（x2）< 0  f（x2 - x1）> 0，

∴ f（x1）- f（x2）= > 0，

∴ f（x1）> f（x2），

∴ f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減（12分）

∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 1（14分）


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