題目列表(包括答案和解析)
設x0是方程8-x=lgx的解,且,則k= .
必做題部分
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.
1. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},則 ▲ .
2. 若復數(shù)z滿足zi=2+i(i是虛數(shù)單位),則z= ▲ .
3. 已知冪函數(shù)的圖象過點,則
= ▲ .
4. 如圖,一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全
等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長為1,
那么這個幾何體的表面積為 ▲ .
5. 設x0是方程8-x=lgx的解,且,則k= ▲ .
6. 矩形ABCD中,. 在矩形內(nèi)任取一點P,則的概率為 ▲ .
7. △ABC中,,,則的最小值是 ▲ .
8. 已知,,則等于 ▲ .
9. 右圖是由所輸入的x值計算y值的一個算法程序,
若x依次取數(shù)列(,n≤2009)的
項,則所得y值中的最小值為 ▲ .
11. 已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,P是雙曲線上一點,且PF1⊥PF2,P F1P F2 =4ab,則雙曲線的離心率是 ▲ .
11. 設函數(shù)f(x)=ax+b,其中a,b為常數(shù),f1(x)=f(x),fn+1(x)=f [fn(x)],n=1,2,….
若f5(x)=32x+93, 則ab= ▲ .
12. 函數(shù)f(x)=的值域為 ▲ .
13. 設函數(shù), A0為坐標原點,An為函數(shù)y=f(x)圖象上橫坐標為
的點,向量,向量i=(1,0),設為向量與向量i的夾角,則滿足
的最大整數(shù)n是 ▲ .
14. 已知l1和l2是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線,它們的交點為A,動點B、C分別在l1和l2
上,且,過A、B、C三點的動圓所形成的區(qū)域的面積為 ▲ .
【填空題答案】
1.{2,4}; 2.1-2i ; 3.; 4.; 5.7;
6.; 7.; 8.; 9.17; 10. ;
11.6; 12.; 13.3; 14.18.
二、解答題:本大題共6小題,共90分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15. (本題滿分14分)
某高級中學共有學生3000名,各年級男、女生人數(shù)如下表:
高一年級
高二年級
高三年級
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校學生中隨機抽取1名,抽到高二年級女生的概率是0.17.
(1)問高二年級有多少名女生?
(2)現(xiàn)對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生,問應在高三年級抽取多少
名學生?
【解】(1)由題設可知, 所以x=510. ………………………6分
(2)高三年級人數(shù)為y+z=3000-(523+487+490+510)=990,………………9分
現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生,應在高三年級抽取的人數(shù)為:
名. ………………………12分
答:(1)高二年級有510名女生;(2)在高三年級抽取99名學生.……………14分
16. (本題滿分14分)
如圖, ABCD為矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
AB=
(1)求證:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面體PCEF的體積.
【證明】(1)因為ABCD為矩形,AB=2BC, P為AB的中點,
所以三角形PBC為等腰直角三角形,∠BPC=45°. …………………………2分
同理可證∠APD=45°.
所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD內(nèi),所以PC⊥DE. ………………………4分
因為DE∩PD=D ,所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因為PC在平面PCF內(nèi),所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】(2)因為CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以DE//CF. 又DC⊥CF,
所以 ……………………… 10分
在平面ABCD內(nèi),過P作PQ⊥CD于Q,則
PQ//BC,PQ=BC=
因為BC⊥CD,BC⊥CF,
所以BC⊥平面PCEF,即PQ⊥平面PCEF,
亦即P到平面PCEF的距離為PQ=
………………………14分
(注:本題亦可利用求得)
17 . (本題滿分15分)
△ABC中,角A的對邊長等于2,向量m=,向量n=.
(1)求m?n取得最大值時的角A的大。
(2)在(1)的條件下,求△ABC面積的最大值.
【解】(1)m?n=2-. …………………3分
因為 A+B+C,所以B+C-A,
于是m?n=+cosA=-2=-2.……………5分
因為,所以當且僅當=,即A=時,m?n取得最大值.
故m?n取得最大值時的角A=. …………………………7分
(2)設角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,
由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccosA, …………………………9分
即bc+4=b2+c2≥2bc, ……………………… 11分
所以bc≤4,當且僅當b=c=2時取等號. ……………………… 12分
又S△ABC=bcsinA=bc≤.
當且僅當a=b=c=2時,△ABC的面積最大為. ………………………15分
18. (本題滿分15分)
在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上(如圖),且
OC=1,OA=a+1(a>1),點D在邊OA上,滿足OD=a. 分別以OD、OC為長、短半軸的
橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l:y=-x+b與橢圓弧相切,與AB交于
點E.
(1)求證:;
(2)設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,
求直線l的方程;
(3)在(2)的條件下,設圓M在矩形及其內(nèi)部,
且與l和線段EA都相切,求面積最大的圓M
的方程.
【解】題設橢圓的方程為. …………………………1分
由消去y得. …………………………2分
由于直線l與橢圓相切,故△=(-
化簡得. ① …………………………4分
(2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),
于是OB的中點為. …………………………5分
因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點,
即,亦即. ② …………………………6分
由①②解得,故直線l的方程為 …………………………8分
(3)由(2)知.
因為圓M與線段EA相切,所以可設其方程為.………9分
因為圓M在矩形及其內(nèi)部,所以 ④ ……………………… 10分
圓M與 l相切,且圓M在l上方,所以,即.
………………………12分
代入④得即 ………………………13分
所以圓M面積最大時,,這時,.
故圓M面積最大時的方程為 ………………………15分
19. (本題滿分16分)
已知函數(shù)的導數(shù)為. 記函數(shù)
k為常數(shù)).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),求的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
【解】(1)因為f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),
所以對任意的且恒有成立.
即恒成立. …………………………3分
因為,所以對且時,恒成立.
又<1,所以 …………………………6分
(2). …………………………7分
下面分兩種情況討論:
(1)當時,是關(guān)于x的增函數(shù),值域為
…………………………9分
(2)當時,又分三種情況:
①當時,因為,所以即.
所以f(x)是減函數(shù),.
又,
當,所以f(x)值域為. ………………………10分
②當k=1時,,
且f(x)是減函數(shù),故f(x)值域是. ………………………12分
③當時,是增函數(shù),,
.
下面再分兩種情況:
(a)當時,的唯一實根,故,
是關(guān)于x的增函數(shù),值域為;
(b)當時,的唯一實根,
當時,;當時,;
所以f(x).
故f(x)的值域為. ………………………15分
綜上所述,f(x)的值域為;();
();(). ………………………16分
20.(本題滿分16分)
設{an}是等差數(shù)列,其前n項的和為Sn.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設{an}各項為正數(shù),a1=,a1≠a2,若存在互異正整數(shù)m,n,p滿足:①m+p=2n;
②. 求集合的元素個數(shù);
(3)設bn=(a為常數(shù),a>0,a≠1,a1≠a2),數(shù)列{bn}前n項和為Tn. 對于正整數(shù)c,
d,e,f,若c<d<e<f,且c+f=d+e, 試比較(Tc)-1+(Tf)-1與(Td)-1+(Te)-1的大小.
【證】(1){an}為等差數(shù)列,設其公差為,則
,于是(常數(shù)),
故數(shù)列是等差數(shù)列. …………………………3分
【解】(2)因為{an}為等差數(shù)列,所以是等差數(shù)列,
于是可設為常數(shù)),從而.
因為m+p=2n,所以由兩邊平方得
,即,
亦即,………………………4分
于是,兩邊平方并整理得,即.
…………………………6分
因為m≠p,所以,從而,而a1=,所以.
故
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