題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.
1-5:CDACB; 6-10:ABCDB; 11-12:CD.
二、填空題:本大題共4個小題,每小題4分,共16分.
13.1; 14.; 15.; 16.①②④.
三、解答題:本大題共6個小題,共74分.解答要寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.解:(Ⅰ)∵,∴,
∵,∴.?????????????????????????????????????????????????????????? 2分
則???????????????????????????????????? 4分
.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,,則.???????????????????????? 8分
則.?????????????????????????????????????????????????????? 10分
∵,∴,∴.????????????????????????????????????????? 12分
18.解:(Ⅰ)設“學生甲投籃3次入圍”為事件A;“學生甲投籃4次入圍”為事件B,且事件A、B互斥. 1分
則;??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
故學生甲最多投籃4次就入圍的概率為.?????????????????????????? 6分
(Ⅱ)依題意,的可能取值為3,4,5.則,??????????????? 7分
,?????????????????????????????????????????????? 8分
.?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
則的分布列為:
3
4
5
P
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
故.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
19.解:方法一 (Ⅰ)∵DE⊥平面ACD,AF平面ACD,
∴DE⊥AF.又∵AC=AD,F為CD中點,∴AF⊥CD,因CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)延長DA,EB交于點H,連結CH,因為AB∥DE,AB=DE,所以A為HD的中點.因為F為CD中點,所以CH∥AF,因為AF⊥平面CDE,所以CH⊥平面CDE,故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角,而△CDE是等腰直角三角形,則∠DCE=45°,則所求成銳二面角大小為45°.???????????? 8分
(Ⅲ),因DE∥AB,故點E到平面ABC的距離h等于點D到平面ABC的距離,也即△ABC中AC邊上的高.??????????????????????????????????????????????????? 10分
∴三棱錐體積.???????? 12分
方法二 (Ⅱ)取CE的中點Q,連接FQ,因為F為CD的中點,則FQ∥DE,故DE⊥平面ACD,∴FQ⊥平面ACD,又由(Ⅰ)可知FD,FQ,FA兩兩垂直,以O為坐標原點,建立如圖坐標系,則F(0,0,0),C(,0,0),A(0,0,),B(0,1,),E(1,2,0).平面ACD的一個法向量為, 5分
設面BCE的法向量,則即取.
則.???????????????????????????? 7分
∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°.?????????? 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知面BCE的一個法向量為,.點A到BCE的距離.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
又,,,△BCE的面積.?? 11分
三棱錐A-BCE的體積.??????????????????????????????????????????????????????? 12分
20.解:(Ⅰ)當時,,.?????????????????????????????????????? 1分
由,解得;,解得.????????????????????????? 3分
∴函數的單調遞增區(qū)間是;單調遞減區(qū)間是.????????????????????????? 4分
(Ⅱ)由不等式的解集為P,且,可知,對于任意,不等式恒成立,即即在上恒成立.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
令,∴.???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
當時,;當時,.
∴函數在上單調遞增;在上單調遞減.????????????????????????????????????????? 10分
所以函數在處取得極大值,即為在上的最大值.
∴實數t的取值范圍是.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21.解:(Ⅰ)由已知 ,∴點G的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支. 2分
設方程為,則,,∴.??????????????????????????????????????? 3分
故軌跡E的方程為.??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)①若存在.據題意,直線l的斜率存在且不等于0,設為k(k≠0),則l的方程為,與雙曲線方程聯立消y得,設、,
∴解得.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
由知,△HPQ是等腰三角形,設PQ的中點為,則,即. 6分
而,,即.
∴,即,解得或,因,故.
故存在直線l,使成立,此時l的方程為.???????????????????????? 8分
②∵,∴直線是雙曲線的右準線,由雙曲線定義得:,,∴.???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
方法一:當直線l的斜率存在時,∴
.∵,∴,∴.???????????????????????? 11分
當直線l的斜率不存在時,,,綜上.??????????????????????? 12分
方法二:設直線的傾斜角為,由于直線與雙曲線右支有兩個交點,
∴,過Q作,垂足為C,則,
∴,由,得,
∴.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22.(Ⅰ)解:,,∴.??????????????????????? 2分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,
∴,當且僅當時,.
∵a1=1,故.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
下面采用數學歸納法證明.
當n=1時,a1=1<2,結論成立.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
假設n=k時,結論成立,即,則n=k+1時,
,而函數在上單調遞增,由,
∴,即當n=k+1時結論也成立.???????????????????????????????????????? 7分
綜上可知:.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(Ⅲ)解:由,有,
∴ ,∴.?????????????????????????????? 10分
故,
則.????????????????????????????? 12分
由,,求得.
當n=1時,;當n=2時,;當n≥3時,由(Ⅱ)知,有. 14分
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