已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點(diǎn)；
（2）設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設(shè)直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點(diǎn)分別為A_m和B_m，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

已知曲線C₁：y=ax²+b和曲線C₂：y=2blnx（a，b∈R）均與直線l：y=2x相切．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于點(diǎn)M，N，P，記f（t）=|MP|-|NP|，求f（t）在區(qū)間（0，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底）上的最大值．

已知二次函數(shù)f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R）有最大值，且最大值為正實(shí)數(shù)，集合A={x|

x-a

x

＜0}，集合B={x|x²＜b²}
（1）求集合A和B；
（2）定義：“A-B={x∈A，且x∉B}”設(shè)a，b，x均為整數(shù)，且x∈A．記P（E）為x取自集合A-B的概率，P（F）x取集合A∩B的概率．已知P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．記滿足上述條件的所有a的值從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列為{a_n}，所有b的值從小到大排列構(gòu)成數(shù)列{b_n}．
①求a₁，a₂，a₃和b₁，b₂，b₃；
②請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式（不必證明）；
③如果在函數(shù)中f（t）中，a=a_n，b=b_n，記f（t）的最大值為g（n），c_n=

1-12g(n)

4g(n)

，S_n=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1，求證：S_n＜1．

已知點(diǎn)P在曲線C：y=

1

x

（x＞1）上，設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線為l，若l與函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（Ⅰ）求f（t）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}（n≥1，n∈N）滿足a₁=1，a_n=f(

an-1

)（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

-

k

3

，求a_n與b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)1＜k＜3時(shí)，證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．