已知函數(shù)。

（I）求函數(shù)的極值；

    （II）對于曲線上的不同兩點(diǎn)P₁（x₁,y₁），P₂（x₂,y₂），如果存在曲線上的點(diǎn)Q（x₀,y₀），    且x₁<x₀<x₂，使得曲線在點(diǎn)Q處的切線//P₁P_2,，則稱為弦P₁P_2,的伴隨切線。

特別地，當(dāng)x₀ = x₁ + (1-)x₂ (0<<1)時，又稱為弦P₁P_2,的-伴隨切線。

（i）求證：曲線y=f(x)的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ii）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有-伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由。

已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）若數(shù)列中，前項和為，且證明：

【解析】第一問中，利用，

∴數(shù)列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

第二問中， 

進(jìn)一步得到得    即

即是等差數(shù)列.

然后結(jié)合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴數(shù)列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差數(shù)列.

已知函數(shù)f（x）=，為常數(shù)。

（I）當(dāng)=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中，利用當(dāng)a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是然后求導(dǎo)，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到單調(diào)區(qū)間。第二問函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則或在區(qū)間[1，2]上恒成立，即即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立，解得a的范圍。

（1）當(dāng)a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，上是減函數(shù)。……………6分

（2）。若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，

則或在區(qū)間[1，2]上恒成立�！�，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。

又h（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)。h（x）_max=（2）=，h（x）_min=h（1）=3

即，或。    ∴，或。

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）試討論函數(shù)f（x）是否既有極大值又有極小值？若有，求出a的取值范圍；若沒有，請說明理由．