已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f(x)=

2x-k

x2+1

的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設函數(shù)g(x)=x3-3m2x+

3

5

 (-

1

2

≤x≤

1

2

， 0＜m＜

1

2

)，若對任意的x1∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x2∈[-

1

2

，

1

2

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f'（x）-6，對任意的-1＜x＜1，都有g(shù)（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a≤0時，請問：是否存在整數(shù)a的值，使方程f（x）=15有且只有一個實根？若存在，求出整數(shù)a的值；否則，請說明理由．