(理)已知函數(shù)在R上連續(xù).則 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線(xiàn)與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線(xiàn)AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線(xiàn)與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：數(shù)學(xué)公式在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得數(shù)學(xué)公式．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，數(shù)學(xué)公式（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線(xiàn)與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x1<x2<1, 關(guān)于x的方程：

在（x1,x2）恒有實(shí)數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得.如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<a<b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線(xiàn)與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：在（x1，x2）恒有實(shí)數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，使得．如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．

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一、選擇題：每小題5分，共60分．

BDCBB   DCBCB   AA

二、填空題：每小題４分，共16分．

13. 300      14.（文），（理）3。       ⒖       ⒗①③④.

三、解答題：

17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且與向量=（2，0）所成角為

∴ ，∴ tan = ，    又∵ 0<B<p Þ 0< < ，

∴ = ，∴ B = 。      

（Ⅱ）由（1）可得A + C = ，

 ∴，   8分

∵，∴， 10分，∴，

，當(dāng)且僅當(dāng)。  12分

18.(文科))解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2 x）人． (I)∵，∴．

即,∴．∴x=2． 故文娛隊(duì)共有5人．(8分)

(II) .(12分)

(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分

乙得54分(正確9題)的概率為,……4分

顯然，即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分

(Ⅱ)設(shè)答錯(cuò)一題倒扣x分，則學(xué)生乙選對(duì)題的個(gè)數(shù)為隨機(jī)選擇20個(gè)題答對(duì)題的個(gè)數(shù)的期望為,得分為,

,令,得,

即每答錯(cuò)一題應(yīng)該倒扣2分    ……12分

 

19．解：（Ⅰ）取BD中點(diǎn)N.連AN、MN.  就是異面直線(xiàn)AM與BC所成的角，在中，      （4分）

（Ⅱ）取BE中點(diǎn)P.連AP、PM,作于過(guò)作于連MH.  ， ，即AB  的平面角，在AMP中，

在ABP中，

二面角的大小，為   （8分）

（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，該幾何體是5面體

這斜三棱柱的體積=3VA-BCD=3´´´=                        （12分）

20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x3－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x3－1)

∴(y＋3ax)＋[－(x3－1)]＝1，即y＝f(x)＝x3－3ax………………………2分

∴f/(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)…………………………………………………4分

　　　　當(dāng)a≤0時(shí)，f/(x)＝3(x2－a)≥0對(duì)x∈R恒成立，f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)

　　　　當(dāng)a＞0時(shí)，f/(x)＞0，x＜－或x＞

f/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分

　　　　此時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函數(shù)，

在(－，)上是減函數(shù)……………………………………8分

　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f/(x)＝3x2－3，直線(xiàn)4x＋y＋m＝0的斜率為－4………………9分

　　　　　假設(shè)f/(x)＝－4，即3x2＋1＝0無(wú)實(shí)根

　　　　∴直線(xiàn)4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線(xiàn)………………………………12分

（理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f /(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f /(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)　即[y＋2f /(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f /(1)

f /(x)＝，得f /(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g/(x)＝－＝

         ∵x＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)………………6分

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

           即f(x)＞………………………………………………………………8分

　　�。á螅┰坏仁降葍r(jià)于x2－f(x2)≤m2－2bm－3

　　　　令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x－＝…………………10分

        當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0

令Q(b)＝m2－2bm－3，則

得m≥3或m≤－3……………12分

21.解：（I）由

因直線(xiàn)相切    ，故所求橢圓方程為   （II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：                     

當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：由  

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。

當(dāng)直線(xiàn)L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）

若直線(xiàn)L不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)L：

由

記點(diǎn)、

∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿(mǎn)足條件.

22．(文科)解：（I）∵.  ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)ln的斜率為.

∴切線(xiàn)ln的方程為.                （2分）

令得   ，∴.

依題意點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴  又.          （4分）

∴數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.     ∴.                 （5分）

（Ⅱ）由已知.

∴.                         ①

.               ②

①―②得

.   （9分）

∴       （10分）

又時(shí)，.

又當(dāng)時(shí)，.   ∴.∴當(dāng)時(shí)，.

∴           ∴.      （13分）綜上.  （14分）

22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝ea－1＝1   ∴a＝1         ……2分

(Ⅱ) x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝xe，

f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x2＋ax＋1)e,……3分

  f＇(x)≥0，

∵t（0）＝1∴－2x2＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

∴當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)；  ……5分

又當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)也是單調(diào)遞增的；   ……6分

當(dāng)a＞1時(shí)，∵＝ea－1＞1=f(1)，此時(shí)，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函數(shù).…… 7分

 (Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＝lnf(x)＋x2－ax＝lnx，當(dāng)n≥2時(shí)，

欲證：－＜nk＝1－n，

即證－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
即需證

－1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分

構(gòu)造函數(shù)h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
∵h(yuǎn)＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上時(shí)單調(diào)遞減的，

∴h(t)＞h（1）=0，即有l(wèi)nt＞1－……10分

設(shè)s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，

同理可證s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立   ……12分

分別取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1個(gè)不等式相加即得：

－1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n

∴－＜nk＝1－n       ……14分

 


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