已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=f′（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

(證法一) 取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE.  ①

由   知E是MD的中點(diǎn).

連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).

所以  BM//OE.  ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

(證法二)因?yàn)?nbsp;

所以  、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分

21．解：（I）

由，又 ，

 ，

                                 …… 4分

（II）

，其過點(diǎn) 

                                     …… 7分

（Ⅲ）由（2）知、，

、、  

得 

①當(dāng)。

②當(dāng)時(shí)，

又、 

即

所以直線AB的方程為                       …… 12分

22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點(diǎn)為A（α，），y=e^x與y=的交點(diǎn)為B（β，）；由K_AB= ―1，易知αβ=2009           …………4分

（Ⅱ）設(shè)=，則

∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù)    又∵

∴ ，即，

∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方         …9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，

             =

由已知，  ∴ ≥

∴ ≥．                  ………………………………14分

（文科）解：（Ⅰ）當(dāng)cosθ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x³＋在R上遞增，故無極值. …3分

（Ⅱ）函數(shù)f^、(x)＝12x²－6xcosθ，令f^、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

由于0≤θ≤及（1）結(jié)論，f_極小(x)＝f(cosθ)＝－cos³θ＋＞0，

∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)。…7分

（Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，

由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分