的反函數時.求證:-1, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數f(x)的定義域與值域均為R，f(x)的反函數為f－1(x)，定義數列{an}中，a0＝8，a1＝10，an＝f(an－1)，n＝1，2……．

(1)若對于任意實數x，均有f(x)＋f－1(x)＝2.5x，求證：①an+1＋an－1＝2.5an，n＝1，2，……．②設bn＝an+1－2an，n＝0，1，2，……，求{bn}的通項公式．

(2)若對于任意實數x，均有f(x)＋f－1(x)＜2.5x，是否存在常數A、B同時滿足：

①當n＝0.or.n＝1時，有成立；②當n＝2、3、4、……，時，成立．如果存在，求出A、B的值；如果不存在，說明理由．

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解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

已知函數f(x)＝2x－1的反函數為f－1(x)，又g(x)＝log4(3x＋1)

(1)

若f－1(x)≤g(x)，求x的取值集合D；

(2)

設函數，當x∈D時，求H(x)的最大值及相應的x值．

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20. 現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數據：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0＝0.為提取反映數據間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記T＝a0+a1+…+a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折線.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）設Pn－1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關系；

（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）<x；

（Ⅳ）求由函數y=x與y=f（x）的圖象所圍成圖形的面積（用a1，a2，a3，a4，a5表示）.

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已知定義在R上的函數f(x)，滿足條件：(1)f(x)＋f(－x)＝2；(2)對非零實數x，都有2f(x)＋f()＝2x＋＋3．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設函數直線分別與函數g(x)的反函數y＝g－1(x)交于A，B兩點(其中n∈N*)，設an＝|AnBn|，sn為數列an的前n項和．求證：當n≥2時，總有成立．

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已知定義域為的函數f(x)，對于任意x，y∈時，恒有

f(xy)＝f(x)＋f(y)．

　　

(Ⅰ)求證：當x∈時，f()＝－f(x)；

(Ⅱ)若x＞1時，恒有f(x)＜0，求證：f(x)必有反函數；

(Ⅲ)設是f(x)的反函數，求證：在其定義域內恒有＝．

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一　、選擇題

１．C.  2．A.  3．A.  4．A.  5．A. 6．C.  7．A.  8．A.  9．C.  10．D.  11．C.12．D.

一、                                                              填空題

13．．　14．2．　15．16．　　16．13．

三、解答題

17.（理科） （１）由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，得

tanA＋tanB＝1－tanAtanB，

即tan（A＋B）＝1.              

∵A、B為△ABC內角， ∴A＋B＝.  則 C＝（定值）.

（2）已知△ABC內接于單位圓， ∴△ABC外接圓半徑R=1.

∴由正弦定理得：，，.

則△ABC面積S＝＝＝

                  ＝＝

                  ＝＝．

∵  0<B<， ∴.

    故 當時，△ABC面積S的最大值為.   

（文科）�。�1），

，，，∴ ．

∴ 向量和的夾角的大小為．

（2）．

以和為鄰邊的平行四邊形的面積，

據此猜想，的幾何意義是以、為鄰邊的平行四邊形的面積．

18. （１）學生甲恰好抽到3道歷史題，2道地理題的概率為

．

       （２）若學生甲被評為良好，則他應答對5道題或4道題

       而答對4道題包括兩種情況：①答對3道歷史題和1道地理（錯一道地理題）；②答對2道歷史題和2道地理題（錯一道歷史題）。

       設答對5道記作事件A；

       答對3道歷史題，1道地理題記作事件B；

       答對2道歷史題，2道地理題，記作事件C；

       ，

          ，

          ．

       ∴甲被評為良好的概率為：

       ．

19.  （１）延長AC到G，使CG=AC，連結BG、DG，E是AB中點，．

    故直線BG和BD所成的銳角（或直角）就是CE和BD所成的角．

   

   （２）設C到平面ABD的距離為h

   

   

20. （1）．

(2) 由(1)知：，故在是增函數．

又對于一切恒成立.

由定理知:存在

由(1)知:

  

由的一般性知：．

21. （1）以中點為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

設，由得，此即點的軌跡方程.

   （2）將向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，得到圓，

依題意有．

   （3）不妨設點在的上方，并設，則，

所以，由于且，

故．

22.（理科）⑴　∵f(x)+g(x)＝ax，∴f(－x)+ g(－x)＝a－x．

∵f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，∴－f(x)+g(x)＝a－x ．

∴f(x)＝，g(x)＝．

⑵是R上的減函數，

∴y=f －1(x)也是R上的減函數. 

又

　

⑶

 n>2,當上是增函數.是減函數；

上是減函數.是增函數．

（文科）�。�1）∵函數在和時取得極值，∴－1，3是方程的兩根，

∴

（2），當x變化時，有下表

x

(-∞，-1)

-1

（-1，3）

3

（3，+∞）

f’(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

Max

c+5

ㄋ

Min

c-27

ㄊ

而時f(x)的最大值為c+54．

要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．

當c≥0時c+54<2c，　　∴c>54．

當c＜0時c+54<－2c，∴c＜－18．

∴c∈（-∞，－18）∪（54，+∞）．


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