即若.則得到零點值(或),否則重復步驟2-4.注:函數零點的性質 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2013•菏澤二模)已知定義在R上的函數f(x)的對稱軸為x=-3,且當x≥-3時,f(x)=2x-3.若函數f(x)在區(qū)間(k-1,k)(k∈Z)上有零點,則k的值為(  )

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給出以下五個命題:
①x,y∈R,若x2+y2=0,則x=0或y=0的否命題是假命題;
②函數y=3x+3-x(x<0)的最小值為2;
③若函數f(x)=x3+ax2+2的圖象關于點(1,0)對稱,則a的值為-3;
④若f(x+2)+
1f(x)
=0,則函數y=f(x)是以4為周期的周期函數;
⑤若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a0+a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29其中真命題的序號是
①③④
①③④

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設A={1,3,a},B={1,a2-a+1},若B?A,則a的值為( 。
A、2或1B、2或-1C、-2或1D、1或-1

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已知向量
a
=(1,2)
,
b
=(-2,m2)
,若
a
b
,則 m的值為( 。

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若函數f(x)=a2sin2x+(a-2)cos2x的圖象關于直線x=-
π
8
對稱,則a的值等于( 。
A、
2
或-
2
B、1或-1
C、1或-2
D、-1或2$

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                           2008年7月

【課前預習】

答案: 1、;  2、B.試題分析,可求得:。易知函數的零點所在區(qū)間為。

 3、;   4、-4。

四.典例解析

題型1:方程的根與函數零點

例1. 分析:利用函數零點的存在性定理或圖像進行判斷。

解析:(1)方法一:

。

方法二:

解得,

所以函數。

(2)∵,

     ∴。

(3)∵

       ,

     ∴,故存在零點。

評析:函數的零點存在性問題常用的辦法有三種:一是定理;二是用方程;三是用圖像

 

例2. 解析:(1)方法一令則根據選擇支可以求得<0;<0;>0.因為<0可得零點在(2,3)內選C

方法二:在同一平面直角坐標系中,畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標,顯然在區(qū)間(1,3)內,由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應選C

(2)原方程等價于

構造函數,作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得:

①當時,原方程有一解;

②當時,原方程有兩解;

③當時,原方程無解。

點評:圖象法求函數零點,考查學生的數形結合思想。本題是通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數形結合,要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計,而且還要計算的鄰近兩個函數值,通過比較其大小進行判斷

題型2:零點存在性定理

例3.解析:(1)函數f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且

當x∈(-m,1-m)時,f (x)<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f (x)>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1-m)

根據函數極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數m≤1時,f(x) ≥1-m≥0

(2)證明:由(I)知,當整數m>1時,f(1-m)=1-m<0,

函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數.

由所給定理知,存在唯一的

而當整數m>1時,

類似地,當整數m>1時,函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的

故當m>1時,方程f(x)=0在內有兩個實根。

點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。

例4. 解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項D正確,見實例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實數解”。

點評:該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。

題型3:二分法的概念

例5. 解析:如果函數在某區(qū)間滿足二分法題設,且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內一定存在零點,甚至有可能得到函數的精確零點。

點評:該題深入解析了二分法的思想方法。

 

例6.解析:由四舍五入的原則知道,當時,精度達到。此時差限是0.0005,選項為C。

點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。

題型4:應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解

例7. 解析:原方程即。令

用計算器做出如下對應值表

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

-4.6974

觀察上表,可知零點在(1,2)內

取區(qū)間中點=1.5,且,從而,可知零點在(1,1.5)內;

再取區(qū)間中點=1.25,且,從而,可知零點在(1.25,1.5)內;

同理取區(qū)間中點=1.375,且,從而,可知零點在(1.25,1.375)內;

由于區(qū)間(1.25,1.375)內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。

點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學會借助精度終止二分法的過程。

例8. 分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數?

略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調函數,在上至多有一個零點。

點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間,,可利用函數性質,也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通?纱_定一個長度為1的區(qū)間;

②建議列表樣式如下:

零點所在區(qū)間

中點函數值

區(qū)間長度

[1,2]

>0

1

[1,1.5]

<0

0.5

[1.25,1.5]

<0

0.25

如此列表的優(yōu)勢:計算步數明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。

題型5:一元二次方程的根與一元二次函數的零點

例9. 分析:從二次方程的根分布看二次函數圖像特征,再根據圖像特征列出對應的不等式(組)。

解析:(1)設,

,知,

(2)令

,∴,∴,

綜上,。

評析:二次方程、二次函數、二次不等式三者密不可分。

例10.解析:設,則的二根為

(1)由,可得  ,即,

       兩式相加得,所以,;

(2)由, 可得  。

,所以同號。

等價于

,

即  

解之得  。

點評:條件實際上給出了的兩個實數根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。

【課外作業(yè)】

1. 答案:A,令即可;

2. 答案:B;

3.答案:C,由可得關于對稱,∴,∴,∴,∵,∴。

4、 答案:D, ∵,∴, ∴

5. 答案:C,先求出,根據單調性求解;

五.思維總結

1.函數零點的求法:

①(代數法)求方程的實數根;

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來,并利用函數的性質找出零點。

2.解決二次函數的零點分布問題要善于結合圖像,從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數值的正負、二次函數圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數形結合。

 

 


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