題目列表(包括答案和解析)
在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 與bn;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}滿足,求{cn}的前n項和Tn.
【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項公式和求和的運用。第一問中,利用等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,,可得,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二問中,,由第一問中知道,然后利用裂項求和得到Tn.
解: (Ⅰ) 設(shè):{an}的公差為d,
因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因為……………8分
在中,是三角形的三內(nèi)角,是三內(nèi)角對應(yīng)的三邊,已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
【解析】第一問中利用依題意且,故
第二問中,由題意又由余弦定理知
,得到,所以,從而得到結(jié)論。
(1)依題意且,故……………………6分
(2)由題意又由余弦定理知
…………………………9分
即 故
代入得
(本大題18分)
閱讀下面所給材料:已知數(shù)列{an},a1=2,an=3an–1+2,求數(shù)列的通項an。
解:令an=an–1=x,則有x=3x+2,所以x= –1,故原遞推式an=3an–1+2可轉(zhuǎn)化為:
an+1=3(an–1+1),因此數(shù)列{an+1}是首項為a1+1,公比為3的等比數(shù)列。
根據(jù)上述材料所給出提示,解答下列問題:
已知數(shù)列{an},a1=1,an=3an–1+4,
(1)求數(shù)列的通項an;并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來解釋其原理;
(2)若記Sn=,求Sn;
(3)若數(shù)列{bn}滿足:b1=10,bn+1=100,利用所學(xué)過的知識,把問題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示,求出解數(shù)列{bn}的通項公式bn。
某市投資甲、乙兩個工廠,2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬噸,在今后的若干年內(nèi),甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸,乙工廠第年比上一年增加萬噸,記2011年為第一年,甲、乙兩工廠第年的年產(chǎn)量分別為萬噸和萬噸.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項公式;
(Ⅱ)若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍,則將另一工廠兼并,問到哪一年底,其中哪一個工廠被另一個工廠兼并.
【解析】本試題主要考查數(shù)列的通項公式的運用。
第一問由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98
第二問,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查用數(shù)列解決實際問題,其步驟是建立數(shù)列模型,進行計算得出結(jié)果,再反饋到實際中去解決問題.由于比較兩個工廠的產(chǎn)量時兩個函數(shù)的形式較特殊,不易求解,故采取了列舉法,數(shù)據(jù)列舉時作表格比較簡捷.
解:(Ⅰ)由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98……6分
(Ⅱ)由于n,各年的產(chǎn)量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 100 110 120 130 140 150 160 170
bn 100 102 106 114 130 162 226 354
2015年底甲工廠將被乙工廠兼并
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