題目列表(包括答案和解析)
如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,有一組對角線長為an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其對角線BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點(diǎn)重合).設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d(d>0)的等差數(shù)列,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(d,0).
(1)當(dāng)a=8,d=4時(shí),證明:頂點(diǎn)A1、A2、A3不在同一條直線上;
(2)在(1)的條件下,證明:所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2=2x上;
(3)為使所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2=2px(p>0)上,求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn),度量點(diǎn)的坐標(biāo),如圖.
(Ⅰ)拖動(dòng)點(diǎn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí),,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn)、,構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn),構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn),恒有.請你證明這一結(jié)論.
(Ⅲ)為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“與不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
A
B
B
B
C
C
A
11. -3 12. 3 13. 14.
15. 4 (5,1,3)
16.⑴
⑵
=
由于
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)
此時(shí)
綜上,取最大值時(shí),
17.⑴
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行,所以,即。 (文2分)
又過點(diǎn), (文4分,理3分)
⑵由⑴知,,。
令,則或,
易知的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為。
(文6分,理5分)。
當(dāng)時(shí),的最大值為,最小值為;
當(dāng)時(shí),的最大值為,最小值為; (文10分,理7分)
當(dāng)時(shí),的最大值為,最小值為; (文12分,理8分)
⑶因?yàn)?sub>為連續(xù)函數(shù),所以=
由⑵得,則
,(理10分)
,
。 (理12分)
18.⑴,且平面平面,
平面
平面,,,
為二面角的平面角。 (4分)
J是等邊三角形,,即二面角的大小為。 (5分)
⑵(理)設(shè)的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,連結(jié)、、,
,,①
,且平面平面,
平面。 (7分)
又平面,
。 ②
由①、②知
由,,得四邊形為平行四邊形,
,
平面,又平面,
平面平面。
19.⑴三人恰好買到同一只股票的概率。 (文4分,理3分)
⑵解法一 三人中恰好有兩個(gè)買到同一只股票的概率。 (文9分,理7分)
由⑴知,三人恰好買到同一只股票的概率為,所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。 (文12分,理9分)
解法二 。 (文12分,理9分)
⑶(只理科做)每股今天獲利錢數(shù)的分布列為:
2
0
-1
0.5
0.2
0.3
所以,1000股在今日交易中獲利錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
1000 (理12分)
20.⑴由題意可知,,,,
得, (3分)
頂點(diǎn)、、不在同一條直線上。 (4分)
⑵由題意可知,頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別是。
,
消去,可得。 (12分)
為使得所有頂點(diǎn)均落在拋物線上,則有解之,得 (14分)
、所以應(yīng)滿足的關(guān)系式是:。 (16分)
解法二 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足
點(diǎn)在拋物線上,
又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足且點(diǎn)也在拋物線上,
把點(diǎn)代入拋物線方程,解得。(13分)
因此,,拋物線方程為。
又
所有頂點(diǎn)均落在拋物線上
、所應(yīng)滿足的關(guān)系式是:。
21.⑴,
由題意,得, (2分)
⑵由⑴,得
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