[解](Ⅰ)∵數(shù)列是等比數(shù)列 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

數(shù)列的前n項和。

   (1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;

   (2)如果對任意恒成立,求實數(shù)k的取值范圍。

【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的定義的運用,以及運用遞推關系求解數(shù)列通項公式的運用,并且能借助于數(shù)列的和,放縮求證不等式的綜合試題。

 

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已知是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,是等比數(shù)列,且.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)記,,證明).

【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.

,得,,.

由條件,得方程組,解得

所以,.

(2)證明:(方法一)

由(1)得

     ①

   ②

由②-①得

,

(方法二:數(shù)學歸納法)

①  當n=1時,,,故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立,即,則當n=k+1時,有:

   

   

,因此n=k+1時等式也成立

由①和②,可知對任意成立.

 

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在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 與bn;(Ⅱ)設數(shù)列{cn}滿足,求{cn}的前n項和Tn.

【解析】本試題主要是考查了等比數(shù)列的通項公式和求和的運用。第一問中,利用等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+ S2=12,,可得,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.     第二問中,,由第一問中知道,然后利用裂項求和得到Tn.

解: (Ⅰ) 設:{an}的公差為d,

因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因為……………8分

 

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已知數(shù)列滿足(I)求數(shù)列的通項公式;

(II)若數(shù)列,前項和為,且證明:

【解析】第一問中,利用,

∴數(shù)列{}是以首項a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即 

第二問中, 

進一步得到得    即

是等差數(shù)列.

然后結(jié)合公式求解。

解:(I)  解法二、

∴數(shù)列{}是以首項a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即 

(II)     ………②

由②可得: …………③

③-②,得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤-④得

是等差數(shù)列.

     

 

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已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列,且滿足.

(1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項公式;

(2)   若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項公式;

(3) 在(2)的條件下,設數(shù)列的前項和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問中解:由,,

又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

,所以p=1

故數(shù)列為首項是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

此時也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:

(i)當時,;

(ii) 當時,,

所以

第三問假設存在正整數(shù)n滿足條件,則,

則(i)當時,

,

 

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