拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)、離心率e=

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的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)、離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)、離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)、離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點(diǎn)．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．