（2009•崇明縣二模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標(biāo)為A（0，-

2

），且其右焦點到直線y-x-2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點M，則稱弦AB是點M的一條“相關(guān)弦”，如果點M的坐標(biāo)為M（

1

2

，0），求證點M的所有“相關(guān)弦”的中點在同一條直線上；
（3）根據(jù)解決問題（2）的經(jīng)驗與體會，請運用類比、推廣等思想方法，提出一個與“相關(guān)弦”有關(guān)的具有研究價值的結(jié)論，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值）

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點，點P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k1=

1

2

時，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

，求實數(shù)m的值．
設(shè)計意圖：考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．