題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)令g(x)= f(x)-x2,是否存在實數(shù)a,當x∈(0,e](e是自然常數(shù))時,函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)當x∈(0,e]時,證明:
【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中利用函數(shù)f(x)在[1,2]上是減函數(shù),的導函數(shù)恒小于等于零,然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問中,
假設存在實數(shù)a,使有最小值3,利用,對a分類討論,進行求解得到a的值。
第三問中,
因為,這樣利用單調性證明得到不等式成立。
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)見解析
已知函數(shù),且,函數(shù)的圖象經過點,且與的圖象關于直線對稱,將函數(shù)的圖象向左平移2個單位后得到函數(shù)的圖象.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若在區(qū)間上的值不小于8,求實數(shù)的取值范圍.
(III)若函數(shù)滿足:對任意的(其中),有,稱函數(shù)在的圖象是“下凸的”.判斷此題中的函數(shù)圖象在是否是“下凸的”?如果是,給出證明;如果不是,說明理由.
已知向量,且,A為銳角,求:
(1)角A的大;
(2)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間和值域.
【解析】第一問中利用,解得 又A為銳角
第二問中,
由 解得單調遞增區(qū)間為
解:(1) ……………………3分
又A為銳角
……………………5分
(2)
……………………8分
由 解得單調遞增區(qū)間為
……………………10分
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上均為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有唯一解,求實數(shù)的值.
【解析】第一問,
當0<x<2時,,當x>2時,,
要使在(a,a+1)上遞增,必須
如使在(a,a+1)上遞增,必須,即
由上得出,當時,在上均為增函數(shù)
(Ⅱ)中方程有唯一解有唯一解
設 (x>0)
隨x變化如下表
x |
|||
- |
+ |
||
極小值 |
由于在上,只有一個極小值,的最小值為-24-16ln2,
當m=-24-16ln2時,方程有唯一解得到結論。
(Ⅰ)解:
當0<x<2時,,當x>2時,,
要使在(a,a+1)上遞增,必須
如使在(a,a+1)上遞增,必須,即
由上得出,當時,在上均為增函數(shù) ……………6分
(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解
設 (x>0)
隨x變化如下表
x |
|||
- |
+ |
||
極小值 |
由于在上,只有一個極小值,的最小值為-24-16ln2,
當m=-24-16ln2時,方程有唯一解
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