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已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數。
（Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列；
（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；
（Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。

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第Ⅰ部分（正卷）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分。

1、    2、    3、對任意使    4、2    5、

6、    7、    8、8      9、        10、40

11、    12、4       13、    14、

二、解答題：本大題共6小題，計90分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內。

15、解：（1）解：，

由，有，

解得。                                         ……7分

（2）解法一：       ……11分

             。  ……14分

  解法二：由（1），，得

∴   

∴                                        ……10分

于是，

               ……12分

代入得。            ……14分

16、證明：（1）∵

∴                                          ……4分

（2）令中點為，中點為，連結、

     ∵是的中位線

∴           ……6分   

又∵

∴

∴     ……8分

     ∴

     ∵為正

∴         ……10分

     ∴

     又∵，

 ∴四邊形為平行四邊形    ……12分

∴

∴    ……14分

17、解：（1）設米，，則

∵

∴

∴                                                ……2分

∴

∴                                            ……4分

∴

∴或                                            ……5分

（2）                   ……7分

     此時                                               ……10分

（3）∵

令，                       ……11分

∵

當時，

∴在上遞增                       ……13分

∴

此時                                                ……14分

答：（1）或

    （2）當的長度是4米時，矩形的面積最小，最小面積為24平方米；

    （3）當的長度是6米時，矩形的面積最小，

最小面積為27平方米。                              ……15分

18、（1）解：①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意。   ……2分

②若直線斜率存在，設直線為，即。

由題意知，圓心以已知直線的距離等于半徑2，即：，

解之得                                                  ……5分

所求直線方程是，                            ……6分

（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為

由得                       ……8分

又直線與垂直，由得 ……11分

∴

……13分

             為定值。

   故是定值，且為6。                            ……15分

19、解：（1）由題意得，                             ……2分

∴，    ∴    ……3分

∴，∴在是

單調增函數，                                             ……5分

∴對于恒成立。      ……6分

（2）方程；   ∴  ……7分

     ∵，∴方程為                      ……9分

     令，，

      ∵，當時，，∴在上為增函數；

     時，，  ∴在上為減函數，    ……12分

     當時，                     ……13分

，            

∴函數、在同一坐標系的大致圖象如圖所示，

∴①當，即時，方程無解。

②當，即時，方程有一個根。

③當，即時，方程有兩個根。    ……16分

第Ⅱ部分（附加卷）

一、必做題

21、解：（1）由得，

求得，，                                ……3分

(2)猜想                                            ……5分

證明：①當時，猜想成立。                                 ……6分

②設當時時，猜想成立，即，          ……7分

則當時，有,

所以當時猜想也成立                                  ……9分

③綜合①②，猜想對任何都成立。                      ……10分

22、解：（1）“油罐引爆”的事件為事件A，其對立事件，則

∴ 答：油罐被引爆的概率為 ……5分

（2）射擊次數的可能取值為2，3，4，5，

，，

，   ……7分

故的分布列為：

2

3

4

5

P

     ……10分

二、選做題（每題10分）（選兩道）

1、證明：因為A，M，D，N四點其圓，

  所以，              ……3分

同理，有         ……5分

所以，   ……7分 

即，

所以  ……10分

2、解：（1）設A的一個特值為，由題意知：

  =0

，          ……2分

當時，由 ，得A屬于特征值2的特征向量

當時，由