題目列表(包括答案和解析)
如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點,|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(II)當(dāng)AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.
(Ⅲ)若AN的長度不少于6米,則當(dāng)AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最?并求出最小面積.
【解析】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)及均值不等式的應(yīng)用等,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力 第一問要利用相似比得到結(jié)論。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8,+)
第二問,
當(dāng)且僅當(dāng)
(3)令
∴當(dāng)x > 4,y′> 0,即函數(shù)y=在(4,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=在[6,+∞]上也單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=6時y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個實數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。(1)中,那么當(dāng)時, 又 所以函數(shù)在點(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時, 又
∴ 函數(shù)在點(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時,在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。
綜上所述 時,極大值為,無極小值
時 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實數(shù)的取值范圍是(,)
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