當(dāng).即時(shí).在[0.1]上是增函數(shù) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí),求的極大值和極小值;

(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】(1)中,先利用,表示出點(diǎn)的斜率值這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng),再令,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了在區(qū)間導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。

解:(1)當(dāng)……2分

   

為所求切線方程!4分

(2)當(dāng)

………………6分

遞減,在(3,+)遞增

的極大值為…………8分

(3)

①若上單調(diào)遞增。∴滿足要求。…10分

②若

恒成立,

恒成立,即a>0……………11分

時(shí),不合題意。綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是

 

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),

從而,

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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已知,函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;

(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;

(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí),  又    所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令   有 

對a分類討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。

解:(Ⅰ)∵  ∴

∴  當(dāng)時(shí),  又    

∴  函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分

(Ⅱ)令   有 

①         當(dāng)時(shí)

(-1,0)

0

(0,

,1)

+

0

0

+

極大值

極小值

的極大值是,極小值是

②         當(dāng)時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無極小值。 

綜上所述   時(shí),極大值為,無極小值

時(shí)  極大值是,極小值是        ----------8分

(Ⅲ)設(shè),

求導(dǎo),得

,    

在區(qū)間上為增函數(shù),則

依題意,只需,即 

解得  (舍去)

則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,

 

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如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的對應(yīng)過程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上(線段AB)的點(diǎn)M(如圖1);將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合(如圖2);再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上;點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)(如圖3),當(dāng)點(diǎn)M從A到B是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),按此對應(yīng)法則確定的函數(shù)使得m與n對應(yīng),即
f(m)=n.

對于這個(gè)函數(shù)y=f(x),有下列命題:
;  ②f(x)的圖象關(guān)于對稱;  ③若,則;  ④f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的對應(yīng)過程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上(線段AB)的點(diǎn)M(如圖1);將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合(如圖2);再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上;點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)(如圖3),當(dāng)點(diǎn)M從A到B是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí),圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),按此對應(yīng)法則確定的函數(shù)使得m與n對應(yīng),即
f(m)=n.

對于這個(gè)函數(shù)y=f(x),有下列命題:
;  ②f(x)的圖象關(guān)于對稱;  ③若,則;  ④f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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