題目列表(包括答案和解析)
已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設,若對任意,,不等式 恒成立,求實數的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,;
當b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數b的取值范圍是
|
已知函數,
(1)求函數的定義域;
(2)求函數在區(qū)間上的最小值;
(3)已知,命題p:關于x的不等式對函數的定義域上的任意恒成立;命題q:指數函數是增函數.若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數m的取值范圍.
【解析】第一問中,利用由 即
第二問中,,得:
,
第三問中,由在函數的定義域上 的任意,,當且僅當時等號成立。當命題p為真時,;而命題q為真時:指數函數.因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以
當命題p為真,命題q為假時;當命題p為假,命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解:(1)由 即
(2),得:
,
(3)由在函數的定義域上 的任意,,當且僅當時等號成立。當命題p為真時,;而命題q為真時:指數函數.因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以
當命題p為真,命題q為假時,
當命題p為假,命題q為真時,,
所以
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