題目列表(包括答案和解析)
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設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為.
由P在橢圓上,有
因為,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
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