題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),數(shù)列的項滿足: ,(1)試求
(2) 猜想數(shù)列的通項,并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】第一問中,利用遞推關(guān)系,
,
第二問中,由(1)猜想得:然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
(2)由(1)猜想得:
(數(shù)學(xué)歸納法證明)i) , ,命題成立
ii) 假設(shè)時,成立
則時,
綜合i),ii) : 成立
數(shù)列首項,前項和滿足等式(常數(shù),……)
(1)求證:為等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的公比為,作數(shù)列使 (……),求數(shù)列的通項公式.
(3)設(shè),求數(shù)列的前項和.
【解析】第一問利用由得
兩式相減得
故時,
從而又 即,而
從而 故
第二問中, 又故為等比數(shù)列,通項公式為
第三問中,
兩邊同乘以
利用錯位相減法得到和。
(1)由得
兩式相減得
故時,
從而 ………………3分
又 即,而
從而 故
對任意,為常數(shù),即為等比數(shù)列………………5分
(2) ……………………7分
又故為等比數(shù)列,通項公式為………………9分
(3)
兩邊同乘以
………………11分
兩式相減得
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