已知三次函數(shù) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

19、已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（II）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區(qū)間[m-3，n]上的值域?yàn)閇-4，16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件．

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已知三次函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
b
2
x2+x在R上有極值，則實(shí)數(shù)b的范圍為
（-∞，-2）∪（2，+∞）
（-∞，-2）∪（2，+∞）
．

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（2012•惠州模擬）已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）過點(diǎn)（-1，2）且在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，試求f（2）的取值范圍；
（3）對?x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，試求實(shí)數(shù)a的最大值，并求a取得最大值時(shí)f（x）的表達(dá)式．

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（2012•宣城模擬）已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）為R上奇函數(shù)，且在x=
3
3
處取得極值-
2
3
9
．記函數(shù)圖象為曲線C．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與其在點(diǎn)P1（1，f（1））處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2，f（x2）），線段P1P2與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，求S1的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，設(shè)曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3，f（x3）），線段P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S2，…，按此方法依次做下去，即設(shè)曲線C與其在點(diǎn)Pn（xn，f（xn））處的切線交于另一點(diǎn)Pn+1（xn+1，f（xn+1）），線段PnPn+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為Sn，試求Sn關(guān)于n的表達(dá)式．

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已知三次函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）滿足條件：
（i）當(dāng)x∈R時(shí)，f′（x-4）=f′（2-x），且f′（x）≥x；
（ii）當(dāng)x∈（O，2）時(shí)，f′（x）≤(
x+1
2
)2；
（iii）f′（x）在R上的最小值為0．?dāng)?shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)的和是Sn，且滿足Sn=f′（an）．
（1）求f′（x）的解析式；
（2）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（3）求證：
C
0
n
a1
+
C
1
n
a2
+
C
2
n
a3
+…+
C
n
n
an+1
≤2n-1•
a1+an+1
a1an+1
．

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一、選擇題（共60分）

1―6DDBBAC  7―12DABCAC

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共20分）

13．3

14．

15．

16．240

三、解答題：本大題有6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（1）

          1分

      

          5分

   （2）

          7分

       由余弦定理   9分

           10分

18．（1）記“這名考生通過書面測試”為事件A，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，

       故   4分

   （2）由題意得的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，且

 

      

      

          8分

      

       的分布列為：

      

0

1

2

3

4

P

          10分

          12分

19．解法一：（1）在直平行六面體ABCD―A1B1C1D1中，

      

       又

          4分

       又

   （2）如圖，連B1C，則

       易證∽

       中點(diǎn)，

      

          8分

       取CD中點(diǎn)M，連BM， 則平面CC1D1D，

       作于N，連NB，由三垂線定理知：

       是二面角B―DE―C的平面角     10分

       在

      

       則二面角B―DE―C的大小為    12分

       解法二：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為軸，建立如圖所示坐標(biāo)為

       依題設(shè)

      

      

       又

       平面BDE    6分


   

    
    

    
       8分
       由（1）知平面BDE的一個(gè)法向量為
       取DC中點(diǎn)M，則
       
       
       等于二面角B―DE―C的平面角    10分
          12分
20．解：（1）由已知得   2分
       由
       
       遞減
       在區(qū)間[-1，1]上的最大值為   4分
       又
       
       由題意得
       故為所求        
6分
   （2）解：
       
           8分
       二次函數(shù)的判別式為：
       
       令
       令    10分
       
       為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0    11分
       當(dāng)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)    12分
21．解：（1）設(shè)
       化簡得    3分
   （2）將    4分
       法一：兩點(diǎn)不可能關(guān)于軸對稱，
       的斜率必存在
       設(shè)直線DE的方程為
       由   5分
           6分
          7分
       且
          8分
       將代化入簡得
          9分
       將，
       過定點(diǎn)（-1，-2）    10分
       將，
       過定點(diǎn)（1，2）即為A點(diǎn)，舍去     11分
           12分
       法二：設(shè)    （5分）
       則   6分
       同理
       由已知得   7分
       設(shè)直線DE的方程為
       得   9分
          10分
       即直線DE過定點(diǎn)（-1，-2）    12分
22．解：（1）由    2分
       于是
       即    3分
       有   5分
          6分
   （2）由（1）得    7分
       而
       
                
           10分
       當(dāng)
       于是
       故命題得證     12分
		

	
	

		



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