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題目列表(包括答案和解析)

（2009•金山區(qū)二模）（1）設u、v為實數(shù)，證明：u2+v2≥
(u+v)2
2
；（2）請先閱讀下列材料，然后根據(jù)要求回答問題．
材料：已知△LMN內(nèi)接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于
1
2
．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設為a1、a2、b1、b2、c1、c2，設LN、LM、MN的長為x、y、z，
x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
同理：y2=b12+b22-b1b2，z2=c12+c22-c1c2，
x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2
…
請利用（1）的結論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A1′A2′A3′…An′內(nèi)接于邊長為1的正n邊形A1A2…An，（n≥4），思考會有相應的什么結論？請?zhí)岢鲆粋�的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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若數(shù)列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，
an=-2an-1+4bn-1
bn=-5an-1+7bn-1
，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求am，bm的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的
ACD
ACD

（請?zhí)畛鋈看鸢福?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當a≠b，5a≠4b時，{an-bn}及{5an-4bn}均為等比數(shù)列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{an-bn}是等比數(shù)列，過程如下：an-bn=（-2an-1+4bn-1）+（5an-1-7bn-1）=3an-1-3bn-1=3（an-1-bn-1）
所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0為首項，以
3
3
為公比的等比數(shù)列；
同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0為首項，以
2
2
為公比的等比數(shù)列
（3）若將an，bn寫成列向量形式，則存在矩陣A，使
an
bn
=A
an-1
bn-1
=A(A
an-2
bn-2
)=A2
an-2
bn-2
=…=An-1
a1
b1
，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=
-24
-57
-24
-57
；  ②若矩陣Bn=A+A2+A3+…+An，矩陣Cn=PBnQ，其中矩陣Cn只有一個元素，且該元素為Bn中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：
P=
1 
1 
，Q=
1
1
P=
1 
1 
，Q=
1
1
； ③矩陣Cn中的唯一元素是
2n+2-4
2n+2-4
．
計算過程如下：

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為了了解某市工人開展體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A，B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠

（Ⅰ）從A，B，C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結果的對比，計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率.

【解析】本試題主要考查了統(tǒng)計和概率的綜合運用。

第一問工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為7/63=1/9…3分

所以從A，B，C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)為2，3，2。

第二問設A1，A2為在A區(qū)中的抽得的2個工廠，B1，B2­，B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠，

C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠。

這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結果有1/2*7*6=32種。

隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結果有A1，A2），A1，B2），A1，B1），

A1，B3）A1，C2），A1，C1）， …………9分

同理A2還能給合5種，一共有11種。  

所以所求的概率為p=11/21

 

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（2009全國卷Ⅰ文）(本小題滿分12分)（注決：在試題卷上作答無效）

   如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，。       

（I）證明：是側棱的中點；

求二面角的大小。（同理18）                  

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在棱長為的正方體中,是線段的中點,.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用，得到結論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)，

因為，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因為，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點，所以，      …………6分

因為面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因為平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為

 

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