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題目列表(包括答案和解析)

       A.                   B.                    C.                    D.

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a,b,c,d∈R,m=,則m與n的大小關(guān)系是(    )

A.m<n          B.m>n          C.m≤n          D.m≥n

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a,b,c,d∈R+,則(a+b+c+d)(+++)的最小值為__________.

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a,b,c,d∈R+,則(a+b+c+d)(+++)的最小值為__________.

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a,b,c,d∈R+,則(a+b+c+d)(+++)的最小值為__________.

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1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D

13.-3 14.7 15.①④ 16.3

17.解:(1)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=cos(2ωx+2φ)++1.

又A>0,ω>0,0<φ<,∴f(x)的最大值為A+1,最小值為1.

由f(x)的最大值與最小值的差為2,∴A=2.

由f(x)過點(diǎn)(0,2),f(0)=cos 2φ+2=2,∴φ=,

則T=4π=,∴ω=,f(x)=cos(x+)+2=2-sinx.6分

(2)∵B=,∴b=f(B)=2-sin(?)=.

設(shè)A,C所對(duì)的邊分別為a,c,由余弦定理得=a2+c2-2accos,+ac=a2+c2≥2ac,ac≤,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)等號(hào)成立,△ABC的面積S=acsin≤.12分

18.解:(1)某應(yīng)聘者能被聘用的概率為p0=1-(1-)(1-)(1-p)=+p.4分

(2)在4位應(yīng)聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1-P0)2,

由于p0(1-p0)≤()2,當(dāng)p0=1-p0,即p0=時(shí),p0(1-p0)取最大值,

此時(shí)+p=,解得p=.7分

(3)4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的取值為0,1,2,3,4,

P(ξ=0)=C()4()0=,P(ξ=1)=C()3()1=,

P(ξ=2)=C()2()2=,P(ξ=3)=C()1()3=,

P(ξ=4)=C()0()4=,

其分布列為

ξ

0

1

2

3

4

p

由于ξ服從二項(xiàng)分布,所以Eξ=2.12分

19.解:(1)連AQ,∠PQA是PQ與平面ABCD所成角,AQ=2,BQ=2,即Q是BC的中點(diǎn),過Q作QH⊥AD于H,則QH⊥平面PAD,過Q作QM⊥PD,連MH,則∠QMH為所求二面角的平面角.

在Rt△PAD中,=⇒MH===,

所以tan∠QMH===,

從而所求二面角的大小為arctan .6分

(2)由于Q是BC的中點(diǎn),可得DQ⊥PQ,

⇒面PAQ⊥面PDQ,

過A作AG⊥PQ于G,則AG為點(diǎn)A到平面PQD的距離.

AG===.12分

另解:分別以AD,AB,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由條件知Q是BC的中點(diǎn),面PAD的一個(gè)法向量是=(0,2,0).

又D(4,0,0),Q(2,2,0),P(0,0,4),

故=(0,2,0),=(-4,0,4),

 

設(shè)面PDQ的法向量為n=(x,y,z),

則⇒由此可取n=(1,1,1),

從而(1)cos〈,n〉===.

(2)面PDQ的一個(gè)法向量為n=(1,1,1),=(2,2,0),

故點(diǎn)A到平面PDQ的距離d===.

20.解:(1)設(shè)f(x)=(k為非零常數(shù)),易得f(x)=(1≤x≤2).3分

(2)f′(x)=-,f′(t)=-,點(diǎn)P(t,),∴l(xiāng):y-=-(x-t),即l:y=-x+.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.

①當(dāng)>3,即t<時(shí),2t<<3,此時(shí)f(t)==(8t-3t2).

②當(dāng)≤3,且2t≤3即≤t≤時(shí),f(t)=?2t?=4.

③當(dāng)2t>3,即t>時(shí),此時(shí)<3,f(t)==(4t-3).

故f(t)=8分

當(dāng)1≤t<時(shí),f′(t)=(4-3t)>0,f(t)為增函數(shù);當(dāng)<t≤2時(shí),f′(t)=<0,f(t)為減函數(shù),且f(t)在[1,2]上連續(xù),所以f(t)max=4.12分

21.解:(1)設(shè)∠MAB=θ,M(x,y),則∠MBA=2θ,tan θ=,tan 2θ=,tan 2θ=⇒x2-=1(x<-1).4分

(2)設(shè)CD:y=-3x+m,

⇒6x2-6mx+m2+3=0.

由于此方程在(-∞,-1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根,易求得m<-.

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),并設(shè)點(diǎn)C在直線l的上方,則

y1=-3x1+m,y2=-3x2+m.

假設(shè)A,B,C,D四點(diǎn)共圓,由于∠CBA=2∠CAB,∠DBA=2∠DAB,

故∠CBD=2∠CAD,由此∠CAD=60°.

tan 60°==.

⇒=

⇒=

⇒=-⇒(x1-x2)2=(m+6)2

⇒m=-<-.

∴x1+x2=m=-,y1+y2=-3(x1+x2)+2m=,從而CD中點(diǎn)為(-,),代入直線l的方程得=-×+b⇒b=.

故存在b=滿足題設(shè)條件.12分

22.解:(1)令n=1得a1=5.

由4Sn=3an+8n2-3

得4Sn1=3an1+8(n-1)2-3

兩式相減得an=-3an1+16n-8.

設(shè)此式可寫成an-pn-q=-3[an1-p(n-1)-q],可解得p=4,q=1,

于是an-4n-1=(-3)n1(a1-4×1-1),而a1=5,故有an=4n+1.6分

(注:也可以采取先猜,后用數(shù)學(xué)歸納法證的辦法得出通項(xiàng))

(2)由bn=(4n-1)(4n+1)(4n+3)有

==(-)

=(-)

<(-).

++…+<[(-)+(-)+…+(-)]

=[-]<=.14分

 

 


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