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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1­上的點，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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1.A　2.B　3.A　4.D　5.C　6.A　7.D　8.B　9.B　10.D　11.B　12.D

13.－3　14.7　15.①④　16.3

17.解：(1)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.

又A＞0，ω＞0,0＜φ＜，∴f(x)的最大值為A＋1，最小值為1.

由f(x)的最大值與最小值的差為2，∴A＝2.

由f(x)過點(0,2)，f(0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝，

則T＝4π＝，∴ω＝，f(x)＝cos(x＋)＋2＝2－sinx.6分

(2)∵B＝，∴b＝f(B)＝2－sin(?)＝.

設A，C所對的邊分別為a，c，由余弦定理得＝a2＋c2－2accos，＋ac＝a2＋c2≥2ac，ac≤，

當且僅當a＝c＝時等號成立，△ABC的面積S＝acsin≤.12分

18.解：(1)某應聘者能被聘用的概率為p0＝1－(1－)(1－)(1－p)＝＋p.4分

(2)在4位應聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1－P0)2，

由于p0(1－p0)≤()2，當p0＝1－p0，即p0＝時，p0(1－p0)取最大值，

此時＋p＝，解得p＝.7分

(3)4位應聘者中被聘用人數(shù)ξ的取值為0,1,2,3,4，

P(ξ＝0)＝C()4()0＝，P(ξ＝1)＝C()3()1＝，

P(ξ＝2)＝C()2()2＝，P(ξ＝3)＝C()1()3＝，

P(ξ＝4)＝C()0()4＝，

其分布列為

ξ

0

1

2

3

4

p

由于ξ服從二項分布，所以Eξ＝2.12分

19.解：(1)連AQ，∠PQA是PQ與平面ABCD所成角，AQ＝2，BQ＝2，即Q是BC的中點，過Q作QH⊥AD于H，則QH⊥平面PAD，過Q作QM⊥PD，連MH，則∠QMH為所求二面角的平面角.

在Rt△PAD中，＝⇒MH＝＝＝，

所以tan∠QMH＝＝＝，

從而所求二面角的大小為arctan .6分

(2)由于Q是BC的中點，可得DQ⊥PQ，

⇒面PAQ⊥面PDQ，

過A作AG⊥PQ于G，則AG為點A到平面PQD的距離.

AG＝＝＝.12分

另解：分別以AD，AB，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

由條件知Q是BC的中點，面PAD的一個法向量是＝(0,2,0).

又D(4,0,0)，Q(2,2,0)，P(0,0,4)，

故＝(0,2,0)，＝(－4,0,4)，

 

設面PDQ的法向量為n＝(x，y，z)，

則⇒由此可取n＝(1,1,1)，

從而(1)cos〈，n〉＝＝＝.

(2)面PDQ的一個法向量為n＝(1,1,1)，＝(2,2,0)，

故點A到平面PDQ的距離d＝＝＝.

20.解：(1)設f(x)＝(k為非零常數(shù))，易得f(x)＝(1≤x≤2).3分

(2)f′(x)＝－，f′(t)＝－，點P(t，)，∴l(xiāng)：y－＝－(x－t)，即l：y＝－x＋.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.

①當＞3，即t＜時，2t＜＜3，此時f(t)＝＝(8t－3t2).

②當≤3，且2t≤3即≤t≤時，f(t)＝?2t?＝4.

③當2t＞3，即t＞時，此時＜3，f(t)＝＝(4t－3).

故f(t)＝8分

當1≤t＜時，f′(t)＝(4－3t)＞0，f(t)為增函數(shù)；當＜t≤2時，f′(t)＝＜0，f(t)為減函數(shù)，且f(t)在[1,2]上連續(xù)，所以f(t)max＝4.12分

21.解：(1)設∠MAB＝θ，M(x，y)，則∠MBA＝2θ，tan θ＝，tan 2θ＝，tan 2θ＝⇒x2－＝1(x＜－1).4分

(2)設CD：y＝－3x＋m，

⇒6x2－6mx＋m2＋3＝0.

由于此方程在(－∞，－1)內有兩個不同的根，易求得m＜－.

設C(x1，y1)，D(x2，y2)，并設點C在直線l的上方，則

y1＝－3x1＋m，y2＝－3x2＋m.

假設A，B，C，D四點共圓，由于∠CBA＝2∠CAB，∠DBA＝2∠DAB，

故∠CBD＝2∠CAD，由此∠CAD＝60°.

tan 60°＝＝.

⇒＝

⇒＝

⇒＝－⇒(x1－x2)2＝(m＋6)2

⇒m＝－＜－.

∴x1＋x2＝m＝－，y1＋y2＝－3(x1＋x2)＋2m＝，從而CD中點為(－，)，代入直線l的方程得＝－×＋b⇒b＝.

故存在b＝滿足題設條件.12分

22.解：(1)令n＝1得a1＝5.

由4Sn＝3an＋8n2－3

得4Sn－1＝3an－1＋8(n－1)2－3

兩式相減得an＝－3an－1＋16n－8.

設此式可寫成an－pn－q＝－3[an－1－p(n－1)－q]，可解得p＝4，q＝1，

于是an－4n－1＝(－3)n－1(a1－4×1－1)，而a1＝5，故有an＝4n＋1.6分

(注：也可以采取先猜，后用數(shù)學歸納法證的辦法得出通項)

(2)由bn＝(4n－1)(4n＋1)(4n＋3)有

＝＝(－)

＝(－)

＜(－).

＋＋…＋＜[(－)＋(－)＋…＋(－)]

＝[－]＜＝.14分

 

 


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