.∴求證成立評注:導數(shù)是研究函數(shù)的工具.導數(shù)進入新教材之后.給函數(shù)問題注入了生機和活力.開辟了許多解題新途徑.拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間.所以把導數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情.對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù).二次函數(shù).反比例函數(shù).指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)等.對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性.對稱性.周期性等.而是把高次多項式函數(shù).分式函數(shù).指數(shù)型.對數(shù)型函數(shù).以及初等基本函數(shù)的和.差.積.商都成為命題的對象.試題的命制往往融函數(shù).導數(shù).不等式.方程等知識于一體.通過演繹證明.運算推理等理性思維.解決單調(diào)性.極值.最值.切線.方程的根.參數(shù)的范圍等問題.這類題難度很大.綜合性強.內(nèi)容新.背景新.方法新.是高考命題的豐富寶藏.通過構(gòu)造函數(shù).以導數(shù)為工具.證明不等式.解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù).把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值.從而證得不等式.而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)，，k為非零實數(shù).

（Ⅰ）設t=k2,若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)性相同，求k的取值范圍;

（Ⅱ）是否存在正實數(shù)k，都能找到t∈[1,2],使得關于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數(shù)根，且在[－5,－1]上至多有一個實數(shù)根.若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由.

 

【解析】本試題考查了運用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，并求解參數(shù)的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題，轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數(shù)學思想的運用。

 

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已知函數(shù)，曲線在點x=1處的切線為，若時，有極值。

（1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值。

【解析】本試題主要考查了導數(shù)的幾何意義的運用，以及運用導數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值的問題。體現(xiàn)了導數(shù)的工具性的作用。

 

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已知函數(shù)，曲線在點x=1處的切線為，若時，有極值。

（1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值。

【解析】本試題主要考查了導數(shù)的幾何意義的運用，以及運用導數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值的問題。體現(xiàn)了導數(shù)的工具性的作用。

 

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已知函數(shù)f（x）=，為常數(shù)。

（I）當=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中，利用當a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是然后求導，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到單調(diào)區(qū)間。第二問函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則或在區(qū)間[1，2]上恒成立，即即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立，解得a的范圍。

（1）當a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，上是減函數(shù)�！�6分

（2）。若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，

則或在區(qū)間[1，2]上恒成立�！�，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。即，或在區(qū)間[1，2]上恒成立。

又h（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)。h（x）max=（2）=，h（x）min=h（1）=3

即，或。    ∴，或。

 

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已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e](e是自然常數(shù))時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，的導函數(shù)恒小于等于零，然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設存在實數(shù)a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調(diào)性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

 

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1．（共12 分）解：（I）6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e ?6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                                     2分

6ec8aac122bd4f6e                                                 4分

6ec8aac122bd4f6e= 6ec8aac122bd4f6e.                                                     5分

又6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e                               6分             

函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的最大值為6ec8aac122bd4f6e.                                             7分

當且僅當6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6eZ）時，函數(shù)6ec8aac122bd4f6e取得最大值為6ec8aac122bd4f6e.

（II）由6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6eZ），                          9分

得6ec8aac122bd4f6e  （6ec8aac122bd4f6eZ）.                                   11分

函數(shù)6ec8aac122bd4f6e的單調(diào)遞增區(qū)間為[6ec8aac122bd4f6e](6ec8aac122bd4f6eZ).                     12

2．解：(Ⅰ) 選手甲答6ec8aac122bd4f6e道題進入決賽的概率為6ec8aac122bd4f6e；    ……………1分

選手甲答6ec8aac122bd4f6e道題進入決賽的概率為6ec8aac122bd4f6e；…………………………3分

選手甲答5道題進入決賽的概率為6ec8aac122bd4f6e；   …………………5分

∴選手甲可進入決賽的概率6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e．        …………………7分

   (Ⅱ)依題意，6ec8aac122bd4f6e的可能取值為6ec8aac122bd4f6e．則有6ec8aac122bd4f6e，               

6ec8aac122bd4f6e，       

6ec8aac122bd4f6e， …………………………10分

因此，有

ξ

3

4

5

P

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e．          ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e且6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e.-------------2分                 

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e為6ec8aac122bd4f6e在平面6ec8aac122bd4f6e內(nèi)的射影.         --------3分                                            

又6ec8aac122bd4f6e⊥6ec8aac122bd4f6e, ∴6ec8aac122bd4f6e⊥6ec8aac122bd4f6e.            ----------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）6ec8aac122bd4f6e⊥6ec8aac122bd4f6e，又6ec8aac122bd4f6e⊥6ec8aac122bd4f6e，

∴6ec8aac122bd4f6e為所求二面角的平面角.         -------6分

又∵6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=4,

∴6ec8aac122bd4f6e=4 .  ∵6ec8aac122bd4f6e=2 , ∴6ec8aac122bd4f6e=60°. -------8分

即二面角6ec8aac122bd4f6e大小為60°.

（Ⅲ）過6ec8aac122bd4f6e作6ec8aac122bd4f6e于D，連結(jié)6ec8aac122bd4f6e,            

由（Ⅱ）得平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,又6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,

∴平面6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,且平面6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e,

∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e.

∴6ec8aac122bd4f6e為6ec8aac122bd4f6e在平面6ec8aac122bd4f6e內(nèi)的射影.

6ec8aac122bd4f6e. --------10分

在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e，

在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.

∴6ec8aac122bd4f6e =6ec8aac122bd4f6e.                       ------------11分                       

所以直線6ec8aac122bd4f6e與平面6ec8aac122bd4f6e所成角的大小為6ec8aac122bd4f6e.         ----12分               

解法二：解：（Ⅰ）由已知6ec8aac122bd4f6e，

以6ec8aac122bd4f6e點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系6ec8aac122bd4f6e.                             

則 6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e.            -------2分  

6ec8aac122bd4f6e則6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e.     

6ec8aac122bd4f6e.       ----------------4分

   （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的法向量. -------5分

設側(cè)面6ec8aac122bd4f6e的法向量為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e,

   6ec8aac122bd4f6e   6ec8aac122bd4f6e.令6ec8aac122bd4f6e則6ec8aac122bd4f6e.

則得平面6ec8aac122bd4f6e的一個法向量6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.               ---------6分

6ec8aac122bd4f6e.       

即二面角6ec8aac122bd4f6e大小為60°.     ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的一個法向量.     --------10分

又6ec8aac122bd4f6e， 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.   -----11分                    

所以直線6ec8aac122bd4f6e與平面6ec8aac122bd4f6e所成角為6ec8aac122bd4f6e           ---------12分

4．解：（I）函數(shù)6ec8aac122bd4f6e

    當6ec8aac122bd4f6e  …………2分

    當x變化時，6ec8aac122bd4f6e的變化情況如下：

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

―

0

+

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

極小值

6ec8aac122bd4f6e

    由上表可知，函數(shù)6ec8aac122bd4f6e；

    單調(diào)遞增區(qū)間是6ec8aac122bd4f6e

    極小值是6ec8aac122bd4f6e         …………6分

   （II）由6ec8aac122bd4f6e      …………7分

    又函數(shù)6ec8aac122bd4f6e為[1，4]上單調(diào)減函數(shù)，

    則6ec8aac122bd4f6e在[1，4]上恒成立，所以不等式6ec8aac122bd4f6e在[1，4]上恒成立.

    即6ec8aac122bd4f6e在[1，4]上恒成立.            …………10分

    又6ec8aac122bd4f6e在[1，4]為減函數(shù)，

    所以6ec8aac122bd4f6e

    所以6ec8aac122bd4f6e                   …………12分

5．解：橢圓6ec8aac122bd4f6e的左、右焦點分別為6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e ，         ……2分

又6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e  ,      6ec8aac122bd4f6e………3分

解得6ec8aac122bd4f6e，                   

6ec8aac122bd4f6e橢圓6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e ．                       ………4分

   （Ⅱ）由6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e．

設點6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e的坐標分別為6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e……5分

6ec8aac122bd4f6e．

   （1）當6ec8aac122bd4f6e時，點6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e關于原點對稱，則6ec8aac122bd4f6e．

   （2）當6ec8aac122bd4f6e時，點6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e不關于原點對稱，則6ec8aac122bd4f6e，

由6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e       即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e點6ec8aac122bd4f6e在橢圓上，6ec8aac122bd4f6e有6ec8aac122bd4f6e，

化簡，得6ec8aac122bd4f6e．

6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e有6ec8aac122bd4f6e．………………①         ……………7分

又6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e由6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得6ec8aac122bd4f6e．

6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e且6ec8aac122bd4f6e．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)6ec8aac122bd4f6e的取值范圍是6ec8aac122bd4f6e． ………………8分

（Ⅲ）6ec8aac122bd4f6e，點6ec8aac122bd4f6e到直線6ec8aac122bd4f6e的距離6ec8aac122bd4f6e，

6ec8aac122bd4f6e的面積6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

                6ec8aac122bd4f6e．           ………………………… 10分

由①有6ec8aac122bd4f6e，代入上式并化簡，得6ec8aac122bd4f6e．

6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e．                    ……………………… 11分

當且僅當6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e時，等號成立．

6ec8aac122bd4f6e當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e的面積最大，最大值為6ec8aac122bd4f6e． ……………………… 12分

6．解：（1）6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e……………………4分

（2）6ec8aac122bd4f6e的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，

∴設6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e

把6ec8aac122bd4f6e，

∴6ec8aac122bd4f6e的方程為6ec8aac122bd4f6e

∵6ec8aac122bd4f6e……………………6分

∴6ec8aac122bd4f6e

∴6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

=6ec8aac122bd4f6e…………………………8分

（3）6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

∴S6ec8aac122bd4f6e中最大數(shù)a1=－17.…………………………10分

設6ec8aac122bd4f6e公差為d，則a10=6ec8aac122bd4f6e

由此得6ec8aac122bd4f6e

又∵6ec8aac122bd4f6e∴6ec8aac122bd4f6e∴6ec8aac122bd4f6e

∴6ec8aac122bd4f6e……………………12分

本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》http://www.7caiedu.cn

2009屆新課標數(shù)學考點預測（26）：函數(shù)與方程的思想方法

《2009年新課標考試大綱》明確指出“數(shù)學知識是指《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法”。其中數(shù)學思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想方法、 數(shù)形結(jié)合的思想方法 、 分類整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識內(nèi)容和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學的規(guī)律性的理性認識。高考通過對數(shù)學思想方法的考查，能夠最有效地檢測學生對數(shù)學知識的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學生對數(shù)學各部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力�！犊荚嚧缶V》對數(shù)學考查的要求是“數(shù)學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數(shù)學知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學試卷的框架結(jié)構(gòu)” 。而數(shù)學思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學知識相結(jié)合，通過數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù)學思想方法的掌握程度” �！� 數(shù)學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現(xiàn)實性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力實現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學素養(yǎng)的要求�！� 數(shù)學的思想方法滲透到數(shù)學的各個角落，無處不在，有些題目還要考查多個數(shù)學思想。在高考復習時，要充分認識數(shù)學思想在提高解題能力的重要性，在復習中要有意識地滲透這些數(shù)學思想，提升數(shù)學思想。

一、函數(shù)與方程的思想

所謂函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點、集合對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構(gòu)造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點去觀察分析處理問題。

所謂方程的思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程（組），或者運用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決，方程思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是利用方程或方程觀點觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉(zhuǎn)化的。

函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學思想，它貫穿于整個高中教學中，中學數(shù)學中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù)，尤其是導數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具．因此，在數(shù)學教學中注重函數(shù)與方程的思想是相當重要的．在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網(wǎng)絡的交匯處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。

1、利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題

例1．（2008安徽卷，理,11）若函數(shù)6ec8aac122bd4f6e分別是6ec8aac122bd4f6e上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足6ec8aac122bd4f6e，則有（    ）

A．6ec8aac122bd4f6e                 B．6ec8aac122bd4f6e

C．6ec8aac122bd4f6e


同步練習冊答案