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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

在△OAB的邊OA,OB上分別有一點(diǎn)P,Q,已知:＝1:2, :＝3:2,連結(jié)AQ,BP,設(shè)它們交于點(diǎn)R,若＝a，＝b.

   (1)用a與 b表示；

   (2)過(guò)R作RH⊥AB,垂足為H,若| a|＝1, | b|＝2, a與 b的夾角的取值范圍.

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(本小題滿分14分)已知A（8，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

（2）若過(guò)點(diǎn)A的直線L與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，且

其中Q（-1，0）,求直線L的方程.

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(本小題滿分14分）

 已知函數(shù)，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

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(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)。

（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

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(本小題滿分14分)

如圖（1），是等腰直角三角形，，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起， 使在平面上的射影恰為的中點(diǎn)，得到圖（2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

 

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

 

17．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）

解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“甲射擊一次,

未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件，

則，.                        

依題意得，                                

        解得.

        故的值為.                                                    

（2）的取值分別為.                                            

，                      

，

，                     

的分布列為

0

2

4

 

                                                                    

                                    

 

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

 (1) 證明: ∵分別是棱的中點(diǎn)，

         ∴是△的中位線.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可證 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

               

(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱錐的體積為

                                                   

                               

                              

                               .                                 

     當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值,其值為, 此時(shí).          

 

     

解法2：設(shè)，在Rt△中，.

     

      ∴三棱錐的體積為

                                

                                                         

                                

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，其值為，此時(shí).

    求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:

 解法1:作,垂足為, 連接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值為.                     

解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,

     則.

     ∴.  

   設(shè)n為平面的法向量,

 

∴

即

令, 則.

∴為平面的一個(gè)法向量.                           

∵平面的一個(gè)法向量為,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值為.                        

19．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）

解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個(gè)，

則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.   

     （2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個(gè)，

 則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.

設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，則為與的較大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故.                             

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，

則在上的最小值為（小時(shí)）；                  

 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

則在上的最小值為（小時(shí)）；            

，

在上的最小值為.

.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取.                        

 

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，

∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                               

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.

∴.

∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.                          

 

 (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，，則.

 

△.  ①                              

由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，則,

 

△.  ②                          

∵，

∴，即，

 

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當(dāng)時(shí),由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條．                                            

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力）

解: (1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,

      ∴                                                  

     求數(shù)列的通項(xiàng)公式, 給出如下四種解法:                

解法1: 由,得,                  

     故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

∴, 即.                     

解法2: 由,兩邊同除以, 得,

     令, 則.

故

    

    

    

     .

且也適合上式,

∴, 即.                     

解法3：  由，得，

       兩式相減得.

       當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),

                        

                      

                       .

       且也適合上式.

       當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),

                        

                        

                         .

       且也適合上式.

       ∴ 當(dāng)N時(shí)，.                                   

解法4：由，，得，

.

     猜想.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

①     當(dāng)時(shí),易知猜想成立;

② 假設(shè)當(dāng)N)時(shí),猜想成立,即,

   由,得,

  故當(dāng)時(shí),猜想也成立.

由①、②得，對(duì)任意N，.                

   

∴


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