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題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)若橢圓E1
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1
和橢圓E2
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1
滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m
 (m>0)
,則稱這兩個橢圓相似,m稱為其相似比.
(1)求經(jīng)過點(2,
6
)
,且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
相似的橢圓方程;
(2)設(shè)過原點的一條射線l分別與(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(其中點A在線段OB上),
|OA|+
1
|OB|
的最大值和最小值;
(3)對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C1
x2
22
+
y2
(
2
)
2
=1
和C2
x2
42
+
y2
(2
2
)
2
=1
交于A、B兩點,P為線段AB上的一點,若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列,則點P的軌跡方程為
x2
32
+
y2
(
3
2
2
)
2
=1
”.請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題,并給予證明.

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①由“若”類比“若為三個向量,則”;②設(shè)圓與坐標軸的4個交點分別為A (x1,0)、B (x2,0)、C (0,y1)、D (0,y2),則;③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”;④在實數(shù)列中,已知a1 = 0,,則的最大值為2.上述四個推理中,得出的結(jié)論正確的是_____________(寫出所有正確結(jié)論的序號).

 

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①由“若”類比“若為三個向量,則”;②設(shè)圓與坐標軸的4個交點分別為A (x1,0)、B (x2,0)、C (0,y1)、D (0,y2),則;③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”;④在實數(shù)列中,已知a1 = 0,,則的最大值為2.上述四個推理中,得出的結(jié)論正確的是_____________(寫出所有正確結(jié)論的序號).

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若橢圓E1和橢圓E2滿足,則稱這兩個橢圓相似,m稱為其相似比.
(1)求經(jīng)過點,且與橢圓相似的橢圓方程;
(2)設(shè)過原點的一條射線l分別與(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(其中點A在線段OB上),
的最大值和最小值;
(3)對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C1和C2交于A、B兩點,P為線段AB上的一點,若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列,則點P的軌跡方程為”.請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題,并給予證明.

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若橢圓E1和橢圓E2滿足,則稱這兩個橢圓相似,m稱為其相似比.
(1)求經(jīng)過點,且與橢圓相似的橢圓方程;
(2)設(shè)過原點的一條射線l分別與(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(其中點A在線段OB上),
的最大值和最小值;
(3)對于真命題“過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓C1和C2交于A、B兩點,P為線段AB上的一點,若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列,則點P的軌跡方程為”.請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題,并給予證明.

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一、選擇題(每題5分共50分)

1.D            2.A            3.B           4.C            5.C           

6.C       7.B        8.C    9.C    10.D

二、填空題(每題5分共20分)

       11.6ec8aac122bd4f6e          12.6ec8aac122bd4f6e                 13.6ec8aac122bd4f6e                  

14.(0,2),6ec8aac122bd4f6e               15.3

三、解答題(共80分)

16.解:(Ⅰ)由已知得:6ec8aac122bd4f6e,  

6ec8aac122bd4f6e是△ABC的內(nèi)角,所以6ec8aac122bd4f6e.    

(2)由正弦定理:6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

又因為6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,又6ec8aac122bd4f6e是△ABC的內(nèi)角,所以6ec8aac122bd4f6e

 

17.證明:連結(jié)AB,A1D,在正方形中,A1B=A1D,O是BD中點,

∴A1O⊥BD;                 

連結(jié)OM,A1M,A1C1,設(shè)AB=a,則AA1=a,MC=6ec8aac122bd4f6ea=MC1

OA=OC=6ec8aac122bd4f6ea,AC=6ec8aac122bd4f6ea,

∴A1O2=A1A2+AO2=a2+6ec8aac122bd4f6ea2=6ec8aac122bd4f6ea2,OM2=OC2+MC2=6ec8aac122bd4f6ea2,A1M2=A1C12+MC12=2a2+6ec8aac122bd4f6ea2=6ec8aac122bd4f6ea2,∴A1M2=A1O2+OM2,

∴A1O⊥OM,  

∴AO1⊥平面MBD

18解:(Ⅰ)6ec8aac122bd4f6e,

因為函數(shù)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e取得極值,則有6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e;

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e;

6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e

所以,當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e取得極大值6ec8aac122bd4f6e,又6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

則當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e的最大值為6ec8aac122bd4f6e

因為對于任意的6ec8aac122bd4f6e,有6ec8aac122bd4f6e恒成立,

所以 6ec8aac122bd4f6e,

解得 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,

因此6ec8aac122bd4f6e的取值范圍為6ec8aac122bd4f6e

19.解(Ⅰ)由題意知6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e   6ec8aac122bd4f6e  

當n≥2時,6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

兩式相減得 6ec8aac122bd4f6e

整理得:6ec8aac122bd4f6e    

∴數(shù)列{6ec8aac122bd4f6e}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列。

6ec8aac122bd4f6e   

(Ⅱ)由(Ⅰ)知6ec8aac122bd4f6e,∴bn=n6ec8aac122bd4f6e  

6ec8aac122bd4f6e, …………①

6ec8aac122bd4f6e, …………②

①-②得

6ec8aac122bd4f6e,   

6ec8aac122bd4f6e,    

6ec8aac122bd4f6e,   

20.解:設(shè)這臺機器最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費用為:

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

等號當且僅當6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

答:這臺機器最佳使用年限是12年,年平均費用的最小值為1.55萬元.

21.⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為

⑵ 得 (1?3k2)x2?6kx?9=0

  x1+x2= , x1x2=

由△>0 得 k2<1

  由= x1x2+y1y2=(1+k2) x1x2+k(x1+x2)+2>2得 <k2<3

  所以,<k2<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加題

(1)證明:先將6ec8aac122bd4f6e變形:6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e時,∴6ec8aac122bd4f6e恒成立,

6ec8aac122bd4f6e的定義域為6ec8aac122bd4f6e。                                     

反之,若6ec8aac122bd4f6e對所有實數(shù)6ec8aac122bd4f6e都有意義,則只須6ec8aac122bd4f6e。

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e,解得6ec8aac122bd4f6e,故6ec8aac122bd4f6e。  

(2)解析:設(shè)6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e是增函數(shù),

∴當6ec8aac122bd4f6e最小時,6ec8aac122bd4f6e最小。

6ec8aac122bd4f6e,                               

 顯然,當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e取最小值為6ec8aac122bd4f6e

此時6ec8aac122bd4f6e為最小值。                      

(3)證明:當6ec8aac122bd4f6e時,6ec8aac122bd4f6e

當且僅當m=2時等號成立。                                  

6ec8aac122bd4f6e。                               

 

 

 


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