如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求證：PD⊥BC；

（II）求二面角B—PD—C的正切值。

【解析】第一問(wèn)利用∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，

BC在平面ABCD內(nèi) ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.

∴PD⊥BC.

第二問(wèn)中解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，

為正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影，

∴BE⊥PD.∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角，進(jìn)而求解。

 

（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；

（II）設(shè)AB=AP．

       （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長(zhǎng)；

       （ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理

由。

已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)。

（1）證明：面面；

（2）求與所成的角；

（3）求面與面所成二面角的余弦值．

【解析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明CD⊥平面PAD．

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出向量與的坐標(biāo)，然后由向量的夾角公式求得余弦值，從而得所成角的大小.

（3）分別求出平面的法向量和面的一個(gè)法向量，然后求出兩法向量的夾角即可．

 

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分別為PA、BC的中點(diǎn)，且PD=

2

，CD=1
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．