題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調遞減;當時單調遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調遞增;當時,單調遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數,研究這個函數的性質進行分析判斷.
已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設,若對任意,,不等式 恒成立,求實數的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式恒成立,問題等價于只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函數的單調遞增區(qū)間是(1,3);單調遞減區(qū)間是 ........4分
(II)若對任意不等式恒成立,
問題等價于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當b<1時,;
當時,;
當b>2時,; ............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以實數b的取值范圍是
已知函數 R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中,利用當時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當時,在上恒成立,
故在上單調遞增,
即. ……10分
(2)當時,令,對稱軸,
則在上單調遞增,又
① 當,即時,在上恒成立,
所以在單調遞增,
即,不合題意,舍去
②當時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知遞增等差數列滿足:,且成等比數列.
(1)求數列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中,利用設數列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設數列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當時,;當時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數學歸納法.
當時,,成立.
假設當時,不等式成立,
當時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調性證明.
要證
只要證 ,
設數列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數列為單調遞減數列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
函數(、)滿足:,且對任意實數x均有0成立
(1)求實數、的值;
(2)當時,求函數的最大值.
【解析】(1) 恒成立.
(2)
對稱軸,由于開口方向向上,所以求最大值時對稱軸要與區(qū)間中間進行比較討論即可.
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