18． 甲.乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運吉祥物“福娃 5個(其中“貝貝 .“晶晶 .“歡歡 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）
甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個（其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、
“迎迎”和“妮妮各一個”），現(xiàn)以投擲一個骰子的方式進行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點數(shù)是奇數(shù)時，甲贏得乙一個福娃；否則乙贏得甲一個福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止．記游戲終止時投擲骰子的次數(shù)為
（1）求擲骰子的次數(shù)為7的概率；
（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望E．

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們的培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成中隨機抽取8次，記錄如下

甲：82，91，79，78，95，88，83，84

乙：92，95，80，75，83，80，90，85

（I）        畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖；

（II）      現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)角度，你認為派哪位學(xué)生參加合請說明理由。

（III）     若將頻率視為概率，對學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)競賽成績進行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）

        甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)

賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

    甲：72  71  69  68  85  78  83  74

    乙：82  85  70  65  73  70  80  75

   （Ⅰ）畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖，指出學(xué)生乙成績的中位數(shù)；

   （Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)建模競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由；

   （Ⅲ）若將頻率視為概率，對學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)建模競賽成績進行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

 

 

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（本小題滿分12分）

甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

                甲：82  81  79  78  95  88  93  84

                乙：92  95  80  75  83  80  90  85

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，并寫出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）經(jīng)過計算知甲、乙兩人預(yù)賽的平均成績分別為，甲的方差為，現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認為選派哪位學(xué)生參加較合適？請說明理由；

（3）現(xiàn)規(guī)定80分以上為合格成績，90分以上為優(yōu)秀成績，從甲的合格成績中隨機抽出2個，則抽出優(yōu)秀成績的概率有多大？

 

 

 

 

 

 

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（本小題滿分12分）

  甲、乙兩位籃球運動員進行定點投藍，每人各投4個球，甲投籃命中的概率為，乙投籃命中的概率為．

 (1)求甲至多命中2個且乙至少命中2個的概率；

 (2)若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

CABD  CDDC  BABD

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13．3                             14．1200                15．          16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：                                                                               1分

       ∵，∴⊥，∴∠

       在Rt△ADC中                                                         4分

       ∴                                                                                                         6分

       ∵                                               7分

       又∵                      9分

       ∴

                                                                              12分

18．解：（1）當(dāng)=7時，甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲贏或乙贏的概率均為，因此

       =                                                            4分

   （2）設(shè)游戲終止時骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為，向上的點數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，則由，可得：當(dāng)

       或，時，當(dāng)，或因此的可能取值是5、7、9                                                                             6分

       每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是

               10分

       所以的分布列是：

5

7

9

                                                                    12分

19．解：設(shè)數(shù)列的公比為

   （1）若，則

       顯然不成等差數(shù)列，與題設(shè)條件矛盾，所以≠1                            1分

       由成等差數(shù)列，得

       化簡得                                           4分

       ∴                                                                              5分

   （2）解法1：                                      6分

       當(dāng)≥2時，

                                                                                                                              10分

      

      

      

       =1+                                                              12分

       解法2：                                              6分

       當(dāng)≥2時，設(shè)這里，為待定常數(shù)。

       則

       當(dāng)n≥2時，易知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以

       可見，n≥2時，

       于是，n≥2時，有                                         10分

      

      

       =1+                                                                          12分

20．解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

   （1）有條件知                                                1分

       由面⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知              2分

      

       ∵                                ……………3分

       ∴與不垂直，即AA1與BC不垂直，

       ∴AA1與平面A1BC不垂直……5分

   （2）由ACC1A1為平行四邊形，

       知==…7分

       設(shè)平面BB1C1C的法向量，

       由

       令，則                                       9分

       另外，平面ABC的法向量（0，0，1）                                                  10分

      

       所以側(cè)面BB1C1C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為                                12分

       解法二：（1）取AC中點D，連結(jié)A1D，則A1D⊥AC。

       又∵側(cè)面ACC1A1與底面ABC垂直，交線為AC，

       ∵A1D⊥面ABC                                      ………2分

       ∴A1D⊥BC。

       假設(shè)AA1與平面A1BC垂直，則A1D⊥BC。

       又A1D⊥BC，由線面垂直的判定定理，

       BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中

       有兩個直角，與三角形內(nèi)角和定理矛盾。假設(shè)不

       成立，所以AA1不與平面A1BC垂直………5分

   （2）側(cè)面BB1C1C與底面ABC所成的銳二面角即為側(cè)面BB1C1C與A1B1C1底面所成的銳二面角。

       過點C作A1C1的垂線CE于E，則CE⊥面A1B1C1，B1C1⊥CE。

       過點E作B1C1的垂線EF于F，連結(jié)CF。

       因為B1C1⊥EF，B1C1⊥CE，所以B1C1⊥面EFC，B1C1⊥CF

       所以∠CFE即為所求側(cè)面BB1C1C與地面A1B1C1所成的銳二面角的平面角     9分

       由得

       在Rt△ABC中，cos∠

       所以，側(cè)面BB1C1C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為                     12分

21．（1）設(shè)與在公共點處的切線相同。

       。由題意知

       即                                                                      2分

       解得或（舍去，）                       4分

      

       可見                                                                               7分

   （2）

       要使在（0，4）上單調(diào)，

       須在（0，4）上恒成立    8分

       在（0，4）上恒成立在（0，4）上恒成立。

       而且可為足夠小的正數(shù)，必有                        9分

       在（0，4）上恒成立

       或                                                                                                     11分

       綜上，所求的取值范圍為，或，或                           12分

22．（1）∵點A的坐標(biāo)為（）

       ∴，橢圓方程為    ①…1分

       又∵，且BC過橢圓M的中心

       （0，0），∴                 ……2分

       又∵∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，

       易得C點坐標(biāo)為（，）               ……3分

       將（，）代入①式得

       ∴橢圓M的方程為              ……4分

   （2）當(dāng)直線的斜率，直線的方程為

       則滿足題意的t的取值范圍為……5分

       當(dāng)直線的斜率≠0時，設(shè)直線的方程為

      

       由得                                      6分

       ∵直線與橢圓M交于兩點P、Q，

       ∴△=

       即                                      ②                                                     8分

       設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中點，則

       *的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，

       D點的坐標(biāo)為（0，-2）

       由，得⊥，，

       即即。   ③                                                     11分

       ∴∴。                                                               ④

       由②③得，結(jié)合④得到                                                      13分

       綜上所述，                                                                                    14分

 

 

 

 

 

 


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