題目列表(包括答案和解析)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,AB⊥平面BB1C1C.
(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正切值;
(2)在棱CC1(不包括端點(diǎn)C、C1)上確定一點(diǎn)E的位置,使EA⊥EB1(要求說明理由);
(3)在(2)的條件下,若AB=,求二面角A-EB1-A1的大小.
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,AB⊥平面BB1C1C.
(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正切值;
(2)在棱CC1(不包括端點(diǎn)C、C1)上確定一點(diǎn)E的位置,使EA⊥EB1(要求說明理由);
(3)在(2)的條件下,若AB=,求二面角A-EB1-A1的大。
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求直線AD與平面PBC的距離;
(Ⅱ) 若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.
(1)求證:D1E⊥A1D;
(2)求AB的長(zhǎng)度;
(3)若EB=時(shí),求二面角D1-EC-D的大小.
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.
第1卷
一、選擇題
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A 9.D 10.C 11.A 12.A
第Ⅱ卷
二、填空題
13.
14.(理)(文)3x+3y-2=0
15.(-3,0)(3,+∞)
16.②④
三、解答題
17.(Ⅰ)這批食品不能出廠的概率是:
(Ⅱ)五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢,這批食品可以出廠的概率是:
五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢,這批食品不能出廠的概率是:
由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式可知,五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢,
才能確定這批食品出廠與否的概率是:
18.(Ⅰ)設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則c的方程為:
①
由點(diǎn)(2,)在曲線c上,得1=(2一b). ②
由①②解得a=b=1,∴曲線c的方程為y=x-1.
(Ⅱ)由,點(diǎn)(n+1,)底曲線c上,有=n
于是.?…?,
即
注意到a1=1,所以an=(n-1)!
(Ⅲ)
∴.
19.(甲)(Ⅰ)選取DA1、DC、DD1,分別為Ox、Oy、Oy軸建立空間直角坐標(biāo),易知E(0,0,),F(xiàn)(,,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),
,
=0,
.
(Ⅱ)G(0,,-1),Cl(0,1,1),
.
(Ⅲ),
(乙)
(Ⅰ)用反證法易證B1D1與A1D不垂直.
(Ⅱ)由余弦有cos∠AC1D1=
設(shè)AC1=x,則
上
單調(diào)遞增.
(Ⅲ)∵A1B1∥C1D1,∴∠AC1D1為異面直線AC1與A1B1所成角.
由余弦定理,有
設(shè)AC1=x,則
故AC1與A1B1所成角的取值范圍是
20.(理)解:
(Ⅰ)∵f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x-1=0對(duì)稱,
∴f(x)=g(2-x).
,
f(x)=g(2一x)=-ax+2x3.
又f(x)是偶函數(shù),∴
f(x)=f(-x)=ax一2x3.
(Ⅱ)f(x)=a-6x2,∵f(x)為[0,1]上的增函數(shù).
∴f'(x)=a-6x2≥0,
∴a≥6x2在上,恒成立.
∵x[0,1)時(shí),6x2≤6,∴a≥6.
即a的取值范圍是[6,+∞).
(Ⅲ)當(dāng)a在[0,1)上的情形.
由f'(x)=0,得得a=6.此時(shí)x=1
∴當(dāng)a(-6,6)時(shí),f(x)的最大值不可能是4.
(文)
(1)
(2)根據(jù)題意可得,
整理得(ax-a)(ax+a-1)<0.
由于a>1,所以x<1.
即.
21.解:
(Ⅰ)∵|PF1|一|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|.
∴|PF1|=3a,|PF2|=a.
設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P(x0,y0),由得3a=ex0+a,則x0=.
∵P在雙曲線右支上,∴x1≥a,即≥a,解得
1<e≤2.
∴e的最大值為2,此時(shí)
∴漸近線方程為,
(Ⅱ).
又.
∴.
又.
.
∴b2=C2-a2=6.
∴雙曲線方程為.
22.(理)解:
(1)可求得f(x)=.
由f(x)<f(1)得.
整理得(ax-a)(ax+a―1)<0.
由于a>l,所以x<1.
(Ⅱ)
=,
由,
,
即f(2)>2f(1).
即f(3)>3f(1).
(Ⅲ)更一般地,有:f(n)>nf(1) (n *,n≥2).
用數(shù)學(xué)歸納法證明,
①由(Ⅱ)知n=2,3時(shí),不等式成立.
②假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,即f(k)>kf(1).
.
這說明n=k+1時(shí),不等式也成立.
由①②可知,對(duì)于一切,均有f(x)>nf(1).
(文)解:
(Ⅰ)∵f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x-1=0對(duì)稱.
∴f(x)=g(2-x),當(dāng)x[-1,0]時(shí),2一x[2,3]
f(x)=g(2一x)=一ax+2x3.
又∵f(x)是偶函數(shù),∴x[0,1]時(shí),一x[一1,0]
f(x)=f(一x)=ax一2x3.
(Ⅱ)上的增函數(shù).
上恒成立
.
即a的取值范圍是[6,+∞].
(Ⅲ)只考慮在[0,1)上的情形.
由.
∴當(dāng)的最大值不可能是4.
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