而任意.總存在.使, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn),且不在軸上,軸,垂足為,線段中點(diǎn)的軌跡為曲線,過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于兩點(diǎn)。

(I)求曲線的方程;

(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為

第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 

,∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點(diǎn).

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,  

要使軸平分,只要得到。

(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為.  ………………2分       

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 ,……5分            

,∴,

∴直線與曲線總有兩個公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,   

要使軸平分,只要,            ………………9分

,        ………………10分

也就是,

,即只要  ………………12分  

當(dāng)時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.

所以在x軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

 

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已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時,,則。

依題意得:,即    解得

第二問當(dāng)時,,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

(Ⅰ)當(dāng)時,,則

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當(dāng)時,,令

當(dāng)變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

,!上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0;

當(dāng)時, 上單調(diào)遞增!最大值為

綜上,當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為2;

當(dāng)時,即時,在區(qū)間上的最大值為。

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時,

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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