設(shè)直線y=x+2與拋物線y=ax²（a＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N．
（Ⅰ）證明：拋物線在N點處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

設(shè)直線l：y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．
（Ⅰ）證明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是橢圓的一個焦點，且

AF

=2

FB

，求橢圓的方程．

設(shè)直線l：y=x+m，雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，雙曲線的離心率為

3

，l與E交于P，Q兩點，直線l與y軸交于點R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）證明：4a²=m²+3；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）若點F是雙曲線E的右焦點，M，N是雙曲線上兩點，且

MF

=λ

FN

，求實數(shù)λ的取值范圍．

設(shè)直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圓P是圓心在x軸的正半軸上，半徑為3的圓．
（Ⅰ）當(dāng)k=

3

4

時，圓P恰與兩直線l₁、l₂相切，試求圓P的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁與圓P交于A、B，l₂與圓P交于C、D．
（1）當(dāng)k=

1

2

時，求四邊形ABDC的面積；
（2）當(dāng)k∈（0，

3

4

）時，求證四邊形ABDC的對角線交點位置與k的取值無關(guān)．

設(shè)直線x=1是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸，對于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x³．
（1）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[3，7]時，求函數(shù)f（x）的解析式．