已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短軸長為2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是橢圓上一點(diǎn)，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為-

1

4

．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn)，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

（2013•荊門模擬）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線，△P₁OP₂的面積為

27

4

，在雙曲線E上存在點(diǎn)P為線段P₁P₂的一個(gè)三等分點(diǎn)，且雙曲線E的離心率為

13

2

．
（1）若P₁、P₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）設(shè)雙曲線E上的動(dòng)點(diǎn)M，兩焦點(diǎn)F₁、F₂，若∠F₁MF₂為鈍角，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

（2012•湘潭模擬）設(shè)A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF=θ．
（1）|AB|=；
（2）若θ∈[

π

12

，

π

4

]，則該橢圓離心率的取值范圍為．