如圖，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA₁⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；

(3)證明：在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

（本題滿分14分）如圖，α⊥β，α∩β=l， A∈α， B∈β，點A在直線l上的射影為A₁， 點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1， BB₁=， 求:
(Ⅰ) 直線AB分別與平面α，β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A₁－AB－B₁的余弦值．

（本題滿分14分）如圖，α⊥β，α∩β=l ， A∈α， B∈β，點A在直線l 上的射影為A₁， 點B在l的射影為B₁，已知AB=2，AA₁=1， BB₁=， 求:

 (Ⅰ) 直線AB分別與平面α，β所成角的大小;

(Ⅱ)二面角A₁－AB－B₁的余弦值．

已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．

(Ⅰ)求異面直線CC₁和AB的距離；

(Ⅱ)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

 [2012·重慶卷] 已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．

(1)求異面直線CC₁和AB的距離；

(2)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

圖1－3