16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F(xiàn)，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點(diǎn)，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F作傾斜角為α的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線l交y軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)P作切線l的垂線交y軸于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：|NF|=|TF|=|PF|；
（Ⅱ）若cosα=

4

5

，求此拋物線與線段PQ所圍成的封閉圖形的面積．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

查看答案和解析>>

一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）

D C B B C       D C A C C       A A

二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）

（13）       （14）        （15）―1        （16）

三．解答題

（17）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）：

．           3分

依題意，的周期，且，∴ ．∴．

∴ ．                                            5分

∵ [0，], ∴ ≤≤，∴ ≤≤1，

  ∴ 的最小值為 ，即    ∴ ．

∴ ．                                            7分

（Ⅱ）∵ =2， ∴ ．

又 ∵ ∠∈（0，）， ∴ ∠＝．                                  9分

在△ABC中，∵ ，，

∴ ，．解得 ．

又 ∵ 0， ∴ ．                                 12分

（18）（本小題滿分12分）

解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AD

為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則依題意可知相

關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（，0，0），

C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），

   ∴ M（，1，0），N（，，）．                                  2分

   ∴ （0，，），（，0，0），（，，）．    4分

   ∴ ，．∴ ，．

   ∴ MN ⊥平面ABN．                                                      6分

   （Ⅱ）設(shè)平面NBC的法向量為（，，），則，．且又易知 ，．

   ∴   即    ∴

   令，則（，0，）．                                           9分

   顯然，（0，，）就是平面ABN的法向量．

∴ ．

   ∴ 二面角的余弦值是．                                    12分

（19）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意得

（）；                             3分

同理可得（）；

（）．                           5分

（Ⅱ）．        8分

（Ⅲ）由上問知 ，即是關(guān)于的三次函數(shù)，設(shè)

，則．

令，解得  或 （不合題意，舍去）．

顯然當(dāng)  時(shí)，；當(dāng)  時(shí)，．

∴ 當(dāng)年產(chǎn)量   時(shí)，隨機(jī)變量  的期望  取得最大值．              12分

（20）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)（，）是函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn)，則容易求得點(diǎn)關(guān)于直線  的對稱點(diǎn)為（，），依題意點(diǎn)（，）在的圖象上，

∴ ． ∴ ．            2分

∴ ．

∵ 是  的一個(gè)極值點(diǎn)，∴ ，解得 ．

∴ 函數(shù)  的表達(dá)式是 （）．            4分

∴ ．

∵ 函數(shù)  的定義域?yàn)椋?sub>）， ∴  只有一個(gè)極值點(diǎn)，且顯然當(dāng)

時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴ 函數(shù)  的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．           6分

（Ⅱ）由 ，

得 ，∴ ．      9分

∴  在 時(shí)恒成立．

∴ 只需求出  在   時(shí)的最大值和  在

 時(shí)的最小值，即可求得  的取值范圍．

∵ （當(dāng)  時(shí)）；

（當(dāng)  時(shí)）．

∴   的取值范圍是 ．                                         12分

（21）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵ ，

∴．

設(shè)O關(guān)于直線 的

對稱點(diǎn)為的橫坐標(biāo)為 ．

又易知直線  解得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)

為（1，－3）．∴．

∴ 橢圓方程為 ．                                           5分

（Ⅱ）顯然直線AN存在斜率，設(shè)直線AN的方程為 ，代入 并整理得：． 

設(shè)點(diǎn)，，則．

由韋達(dá)定理得 ，．                       8分

∵ 直線ME方程為 ，令，得直線ME與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ．

將，代入，并整理得 ．   10分

再將韋達(dá)定理的結(jié)果代入，并整理可得．

∴ 直線ME與軸相交于定點(diǎn)（，0）．                                  12分

（22）（本小題滿分14分）

證明：（Ⅰ）∵ ，，且 （，N?），

∴  ．                                                            2分

將 去分母，并整理得 ．                      5分

∴ ，，……，，

將這個(gè)同向不等式相加，得 ，∴ ．    7分

（Ⅱ）∵ ，∴ ．                     9分

∴ ．即 ．                        11分

∴ ，即

．                                                14分