如圖所示，在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平板車(chē)在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊輕放到車(chē)面距右端

L

3

的c處，滑塊剛好停在小車(chē)左端A處，設(shè)定平板車(chē)上表面各處粗糙程度相同．
（1）求滑塊和平板車(chē)間的摩擦因數(shù)；
（2）若平板車(chē)車(chē)速為2v₀且保持不變，當(dāng)滑塊輕放到車(chē)面C處的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車(chē)的左端A處掉下，恒力F大小應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車(chē)上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

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如圖所示，在真空中，半徑為R=5L₀的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離為d=6L₀，板長(zhǎng)為L(zhǎng)=12L₀，板的中心線(xiàn)O₁O₂與磁場(chǎng)的圓心O在同一直線(xiàn)上．給M、N板加上電壓U₀，其變化情況如下圖所示．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電的粒子，從M、N板右側(cè)沿板的中心線(xiàn)，在t=0或t=T/4時(shí)刻以速率v向左射入M、N之間，粒子在M、N板的左側(cè)剛好以平行于M、N板的速度射出．若上述粒子經(jīng)磁場(chǎng)后又均能平行于M、N極板返回電場(chǎng)，而電場(chǎng)變化的周期T未知，求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B相應(yīng)必須滿(mǎn)足的條件．（不計(jì)粒子重力）

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如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁(a，0)，圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在直線(xiàn)y=a的上方和直線(xiàn)x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。一質(zhì)量為m、電荷量為+q(q>0)的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)入射方向沿x軸正方向時(shí)，粒子恰好從O₁點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。
(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
(2)若帶電粒子以沿x軸正方向成θ角的速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，求此時(shí)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)能到達(dá)電場(chǎng)中最遠(yuǎn)位置的坐標(biāo)；
(3)在(2)情況下，求帶電粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)所經(jīng)歷的時(shí)間t；
(4)在(2)情況下，在原有場(chǎng)區(qū)所有條件均保持不變的情況下，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案能使粒子最終從O點(diǎn)射出，且射出方向與初始射入O點(diǎn)的方向相反。（在作答時(shí)畫(huà)出軌跡示意圖）

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如圖所示，在真空中，半徑為R=5L的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離為d=6L，板長(zhǎng)為L(zhǎng)=12L，板的中心線(xiàn)O₁O₂與磁場(chǎng)的圓心O在同一直線(xiàn)上．給M、N板加上電壓U，其變化情況如下圖所示．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電的粒子，從M、N板右側(cè)沿板的中心線(xiàn)，在t=0或t=T/4時(shí)刻以速率v向左射入M、N之間，粒子在M、N板的左側(cè)剛好以平行于M、N板的速度射出．若上述粒子經(jīng)磁場(chǎng)后又均能平行于M、N極板返回電場(chǎng)，而電場(chǎng)變化的周期T未知，求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B相應(yīng)必須滿(mǎn)足的條件．（不計(jì)粒子重力）

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即邊的長(zhǎng)度為。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即證。

17． 解：（1）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為要使在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且。

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果為，即

共15個(gè)整點(diǎn)。

所求事件為，即共5個(gè)整點(diǎn)，∴所求事件

的概率為。

（2）隨機(jī)變量的取值有：2，3，4，5，6。的隨機(jī)分布列為：

2

3

4

5

6

隨機(jī)變量的期望。

18．解法一：（1）易求，從而，由三垂線(xiàn)定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的射影為，過(guò)作于，連結(jié)，則為二面角的平面角。在中由面積法易求，由體積法求得點(diǎn)到面的距離是

，所以，所以求二面角的大小為。

法二：易求由勾股定理知，過(guò)作于，又過(guò)作交于，連結(jié)。則易證為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小為。

（3）設(shè)AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P―BFD的體積的最小。。

解法二：空間向量解法，略。

19.解：（1）

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為0。

（2）由（1）可知函數(shù)和的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的分界直線(xiàn)，則該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)分界直線(xiàn)的斜率為則直線(xiàn)方程為即由可得當(dāng)時(shí)恒成立

由得。

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立。

令則

當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0。

從而即恒成立。

函數(shù)和存在唯一的分界直線(xiàn)。

20．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（2）設(shè)，則圓方程為,與圓聯(lián)立消去得的方程為，過(guò)定點(diǎn)。

（3）將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：

,設(shè)，則。

，

所以。

故存在定點(diǎn)，使恒為定值。

21．解：（1）法一：數(shù)學(xué)歸納法；

法二：

所以為首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，

，即證。

法三：，兩邊同除以，轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項(xiàng)類(lèi)型。

（2）法一：容易證明單調(diào)遞增，。由函數(shù)割線(xiàn)斜率與中點(diǎn)切線(xiàn)斜率的關(guān)系想到先證，即證，即證

。令下證。事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)，則

，，所以在上單調(diào)遞增，故，則，即證。

于是由有，

（因?yàn)?sub>）。

法二：要證，即證