題目列表(包括答案和解析)
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
(A)(B)(C) (D)
(A) (B) (C) (D)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.2 14. 15. 16.③④
三、解答題(共70分)
17. (本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)由 可得:
又 ; ………………………… 5分
(Ⅱ),
. ………………………………………… 10分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)設(shè)A隊(duì)得分為2分的事件為,
∴ ………… 4分
(Ⅱ)的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ;
, , , ,
0
1
2
3
∴的分布列為:
………… 8分
于是 , ……………… 9分
∵ , ∴ ……………………… 11分
由于, 故B隊(duì)比A隊(duì)實(shí)力較強(qiáng). ……………………… 12分
19.(本小題滿分12分)
解法一
(Ⅰ)連結(jié),
∵平面,平面∩平面
∴
又∵是的中點(diǎn)
∴是的中點(diǎn)
∵
∴,
∴是二面角的平面角.
,
在直角三角形中,, ………… 6分
(Ⅱ)解:過(guò) 作,垂足為,連結(jié),
∵是三角形的中位線,
∴
∵面
∴面
∴,又
∴平面
為在平面上的射影,
又∵,由三垂線定理逆定理,得
∴為二面角的平面角
∵,
在直角三角形中,,
∴二面角的大小為. ……………… 12分
解法二:
(Ⅰ)建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則,
,
平面的法向量為由
得,
平面 ,.
所以點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
平面的法向量,,
即
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,平面的法向量
,,
∵二面角為銳角
∴二面角的大小為
20.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)的定義域?yàn)?sub>.
,令得:
所以在內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù). ……………… 6分
(Ⅱ)由題意得:,
為遞增函數(shù),;
為遞增函數(shù),
的取值范圍為. ……………… 12分
21. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)
依題意得:,
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,
即曲線的方程是 ………………………4分
(Ⅱ)設(shè)、 , ,則
由知,, ∴,
又∵切線AQ的方程為:,注意到
切線AQ的方程可化為:;
由在切線AQ上, ∴
于是在直線上
同理,由切線BQ的方程可得:
于是在直線上
所以,直線AB的方程為:,
又把代入上式得:
∴直線AB的方程為:
∴直線AB必過(guò)定點(diǎn). ………………………12分
(Ⅱ)解法二:設(shè),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則
由知,,得切線方程:
即為:,又∵在切線上,
所以可得:,又把代入上式得:
,解之得:
∴,
故直線AB的方程為:
化簡(jiǎn)得:
∴直線AB的方程為:
∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).
22.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由①
得:②
①-②得,
即有,
數(shù)列是從第二項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列
即, ……………………5分
而滿足該式, . ……………………6分
(Ⅱ) , 要使恒成立
恒成立
即
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),恒成立,而的最小值為
………………………………………………10分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),恒成立,而的最大值為
或
所以,存在,使得對(duì)任意都有. ……………………………………12分
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