題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.2 14. 15.
16.③④
三、解答題(共70分)
17. (本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)由 可得:
又
; ………………………… 5分
(Ⅱ),
.
………………………………………… 10分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)設(shè)A隊(duì)得分為2分的事件為,
∴ ………… 4分
(Ⅱ)的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ;
,
,
,
,
0
1
2
3
∴的分布列為:
………… 8分
于是 , ……………… 9分
∵ , ∴
……………………… 11分
由于, 故B隊(duì)比A隊(duì)實(shí)力較強(qiáng). ……………………… 12分
19.(本小題滿分12分)
解法一
(Ⅰ)連結(jié),
∵平面
,平面
∩平面
∴
又∵是
的中點(diǎn)
∴是
的中點(diǎn)
∵
∴,
∴是二面角
的平面角.
,
在直角三角形中,
,
………… 6分
(Ⅱ)解:過(guò) 作
,垂足為
,連結(jié)
,
∵是三角形
的中位線,
∴
∵面
∴面
∴,又
∴平面
為
在平面
上的射影,
又∵,由三垂線定理逆定理,得
∴為二面角
的平面角
∵,
在直角三角形中,
,
∴二面角的大小為
. ……………… 12分
解法二:
(Ⅰ)建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則
,
,
平面的法向量為
由
得
,
平面
,
.
所以點(diǎn)是棱
的中點(diǎn).
平面的法向量
,
,
即
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為
,平面
的法向量
,
,
∵二面角為銳角
∴二面角的大小為
20.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)的定義域?yàn)?sub>
.
,令
得:
所以在
內(nèi)為增函數(shù),在
內(nèi)為減函數(shù). ……………… 6分
(Ⅱ)由題意得:,
為遞增函數(shù),
;
為遞增函數(shù),
的取值范圍為
.
……………… 12分
21. (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)作
垂直直線
于點(diǎn)
依題意得:,
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以
為焦點(diǎn),直線
為準(zhǔn)線的拋物線,
即曲線的方程是
………………………4分
(Ⅱ)設(shè)、
,
,則
由知,
, ∴
,
又∵切線AQ的方程為:,注意到
切線AQ的方程可化為:;
由在切線AQ上, ∴
于是在直線
上
同理,由切線BQ的方程可得:
于是在直線
上
所以,直線AB的方程為:,
又把代入上式得:
∴直線AB的方程為:
∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).
………………………12分
(Ⅱ)解法二:設(shè),切點(diǎn)的坐標(biāo)為
,則
由知,
,得切線方程:
即為:,又∵
在切線上,
所以可得:,又把
代入上式得:
,解之得:
∴,
故直線AB的方程為:
化簡(jiǎn)得:
∴直線AB的方程為:
∴直線AB必過(guò)定點(diǎn).
22.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由①
得:②
①-②得,
即有,
數(shù)列
是從第二項(xiàng)為
,公比為
的等比數(shù)列
即
, ……………………5分
而滿足該式,
. ……………………6分
(Ⅱ) ,
要使
恒成立
恒成立
即
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
恒成立,而
的最小值為
………………………………………………10分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
恒成立,而
的最大值為
或
所以,存在,使得對(duì)任意
都有
. ……………………………………12分
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