第三部分 運動學

第一講　基本知識介紹

一． 基本概念

1．  質(zhì)點

2．  參照物

3．  參照系——固連于參照物上的坐標系（解題時要記住所選的是參照系，而不僅是一個點）

4．絕對運動，相對運動，牽連運動：v_絕=v_相+v_牽 

二．運動的描述

1．位置：r=r(t) 

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大學教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對t 求導數(shù)

5．以上是運動學中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導數(shù)、位移的二階導數(shù)。可是

三階導數(shù)為什么不是呢？因為牛頓第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（a對t的導數(shù)叫“急動度”。）

6．由于以上三個量均為矢量，所以在運算中用分量表示一般比較好

三．等加速運動

v(t)=v₀+at           r(t)=r₀+v₀t+1/2 at² 

 一道經(jīng)典的物理問題：二次世界大戰(zhàn)中物理學家曾經(jīng)研究，當大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各種角度發(fā)射，問：當飛機在哪一區(qū)域飛行之外時，不會有危險？（注：結(jié)論是這一區(qū)域為一拋物線，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v²/2g處，以v₀平拋物體的軌跡。） 

練習題：

一盞燈掛在離地板高l₂,天花板下面l₁處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。）

四．剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動

1． 我們講過的圓周運動是平動而不是轉(zhuǎn)動 

  2．  角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3．  有限的角位移是標量，而極小的角位移是矢量

4．  同一剛體上兩點的相對速度和相對加速度 

兩點的相對距離不變，相對運動軌跡為圓弧，V_A=V_B+V_AB,在AB連線上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB, _,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB 

例：A，B，C三質(zhì)點速度分別V_A ，V_B  ，V_C      

求G的速度。

五．課后習題：

一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過時間T木筏劃到路線上標有符號處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時刻木筏在航線上的確切位置。

五、處理問題的一般方法

（1）用微元法求解相關(guān)速度問題

例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點，再繞過B、D，BC段水平，當以恒定水平速度v拉繩上的自由端時，A沿水平面前進，求當跨過B的兩段繩子的夾角為α時，A的運動速度。

（v_A＝）

（2）拋體運動問題的一般處理方法

1. 平拋運動
2. 斜拋運動
3. 常見的處理方法

（1）將斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動

（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運動學公式解題

（3）將斜拋運動分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運動和自由落體運動兩個分運動，用矢量合成法則求解

例2：在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為h，若出手時的速度為V₀，求以何角度擲球時，水平射程最遠？最遠射程為多少？

（α=、 x=）

第二講 運動的合成與分解、相對運動

（一）知識點點撥

1. 力的獨立性原理：各分力作用互不影響，單獨起作用。
2. 運動的獨立性原理：分運動之間互不影響，彼此之間滿足自己的運動規(guī)律
3. 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三角形等
4. 運動的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用
1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

參考系的轉(zhuǎn)換：動參考系，靜參考系

相對運動：動點相對于動參考系的運動

絕對運動：動點相對于靜參考系統(tǒng)（通常指固定于地面的參考系）的運動

牽連運動：動參考系相對于靜參考系的運動

（5）位移合成定理：S_A對地=S_A對B+S_B對地

速度合成定理：V_絕對=V_相對+V_牽連

加速度合成定理：a_絕對=a_相對+a_牽連

（二）典型例題

（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風吹向南方，在地球上靜止的觀察者測得雨滴的徑跡與豎直方向成21^。角，而坐在火車里乘客看到雨滴的徑跡恰好豎直方向。求解雨滴相對于地的運動。

提示：矢量關(guān)系入圖

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動扶梯，為什么他可以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)來計算自動扶梯的臺階數(shù)？

提示：V人對梯=n1/t1

      V梯對地=n/t2

      V人對地=n/t3

V人對地= V人對梯+ V梯對地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，則經(jīng)10min后到達正對岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，則經(jīng)過12.5min恰好到達正對岸的B處，求河的寬度。

提示：120=V水*600

        D=V船*600

 答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時，不至于被沖進瀑布中，船對水的最小速度為多少？

提示：如圖船航行

答案：1.58m/s

（三）同步練習

1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β₁=30°，另一次安裝成傾角為β₂=15°。問汽車兩次速度之比為多少時，司機都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開？（冰雹相對地面是豎直下落的）

2、模型飛機以相對空氣v=39km/h的速度繞一個邊長2km的等邊三角形飛行，設(shè)風速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機起飛方向相同，試求：飛機繞三角形一周需多少時間？

3.圖為從兩列蒸汽機車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風速。

4、細桿AB長L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運動，（1）試求桿上與A點相距aL（0＜ a ＜1)的P點運動軌跡；（2）如果v_A為已知，試求P點的x 、 y向分速度v_Px和v_Py對桿方位角θ的函數(shù)。

（四）同步練習提示與答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。

2、提示：三角形各邊的方向為飛機合速度的方向（而非機頭的指向）；

第二段和第三段大小相同。

參見右圖，顯然：

v² =  + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法與練習一類似。答案為：3

4、提示：（1）寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。

（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點只繞A轉(zhuǎn)動。但鑒于桿子的實際運動情形如右圖，應(yīng)有v_牽 = v_Acosθ，v_轉(zhuǎn) = v_A，可知B端相對A的轉(zhuǎn)動線速度為：v_轉(zhuǎn) + v_Asinθ=  。

P點的線速度必為  = v_相 

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） +  = 1 ，為橢圓；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

（1）判斷以下說法的正誤，在相應(yīng)的括號內(nèi)打“√”或“×”。

A．普朗克在研究黑體輻射問題中提出了能量子假說（    ）

B．康普頓效應(yīng)說明光子有動量，即光具有粒子性（    ）

C．玻爾建立了量子理論，成功解釋了各種原子發(fā)光現(xiàn)象（    ）

D．天然放射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)揭示了原子的核式結(jié)構(gòu)（    ）

（2）氣墊導軌是常用的一種實驗儀器。它是利用氣泵使帶孔的導軌與滑塊之間形成氣墊，使滑塊懸浮在導軌上，滑塊在導軌上的運動可視為沒有摩擦。我們可以用帶豎直擋板C和D的氣墊導軌以及滑塊A和B來驗證動量守恒定律，實驗裝置如圖所示（彈簧的長度忽略不計），采用的實驗步驟如下：

A．用天平分別測出滑塊A、B的質(zhì)量m_A、m_B；

B．調(diào)整氣墊導軌，使導軌處于水平；

C．在A和B間放入一個被壓縮的輕彈簧，用電動卡銷鎖定，靜止地放置在氣墊導軌上；

D．用刻度尺測出A的左端至C板的距離L₁；

E．按下電鈕放開卡銷，同時使分別記錄滑塊A、B運動時間的計時器開始工作。當A、B滑塊分別碰撞C、D擋板時停止計時，記下A、B分別到達C、D的運動時間t₁和t₂。

本實驗中還應(yīng)測量的物理量是_____________，利用上述測量的實驗數(shù)據(jù)，驗證動量守恒定律的表達式是_____________。

（3）2008年北京奧運會場館周圍80％—90％的路燈將利用太陽能發(fā)電技術(shù)來供電，奧運會90％的洗浴熱水將采用全玻璃真空太陽能集熱技術(shù)�？茖W研究發(fā)現(xiàn)太陽發(fā)光是由于其內(nèi)部不斷發(fā)生從氫核到氦核的核聚變反應(yīng)，即在太陽內(nèi)部4個氫核（）轉(zhuǎn)化成一個氦核（）和兩個正電子（）并放出能量。已知質(zhì)子質(zhì)量m_p=1.007 3 u，α粒子的質(zhì)量m_α=4.001 5 u，電子的質(zhì)量m_e=0.000 5 u。1 u的質(zhì)量相當于931 MeV的能量。

①寫出該熱核反應(yīng)方程；

②一次這樣的熱核反應(yīng)過程中釋放出多少兆電子伏的能量?（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）

（此大題其它小題不屬于本學科）

31．下圖是2005年“世界物理年”的徽標。觀察這個徽標，提出一個問題；并寫在下面的橫線上。（例：為什么把2005年確定為世界物理年？）

   __________________________________________________________

33．“世界物理年”決議的作出與愛因斯坦的相對論時空觀有關(guān)。根據(jù)愛因斯坦的理論，一把米尺，在它與觀察者有不同相對速度情況下，米尺長度是不同的，它們之間的關(guān)系見下圖。由此可知，當米尺和觀察者的相對速度達到0.8c（c為光速）時，米尺長度大約是______________米。在日常生活中，我們無法察覺到米尺長度變化的現(xiàn)象，是因為觀察者相對于米尺的運動速度________________。

34．愛因斯坦是歷史上繼牛頓之后最偉大的科學家之一。他在1905年發(fā)表的五篇論文涉及到了分子動理論、相對論和量子理論，為日后的諸多技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。關(guān)于愛因斯坦孜孜不倦地探索科學的動機，以下組合是最為可能的是（      ）

①財富 ②名聲 ③好奇心 ④科學的美 ⑤研制原子彈 ⑥創(chuàng)造神話

A.①②　　　　　  　　B.③④　　　　　　

C.①⑥     　　　　　 D.②⑤

35.為紀念“世界物理年”，各國聯(lián)合舉辦了全球性的“物理照耀世界”光束傳遞活動。4月19日19：00，中國區(qū)的光束傳遞活動正式開始，下圖描繪了傳遞路線及終了時間。從圖中可知：中國區(qū)光束傳遞活動的首站是____________。光信號在每個城市平均停留的時間最接近（   ）。

A.1分鐘                  B.3分鐘         

C.5分鐘                  D.7分鐘

36.“物理照耀世界”光束傳遞中國區(qū)的活動受到了全國主流新聞媒體的廣泛關(guān)注，吸引了十萬學子踴躍參加，這有助于“讓物理走進大眾，讓世界擁抱物理�！毕卤磉x自《中國公眾科學素養(yǎng)調(diào)查報告》。

由表可知_______________。

    ①公眾對不同類別的基本科學觀點的正確理解差異很大

②被調(diào)查者的年齡越大，對基本科學觀點的理解情況越好

③第一類屬于日常，傳統(tǒng)的科學觀點，大部分公眾都能理解

④第二類科學觀點和現(xiàn)代高科技相關(guān)，公眾的理解情況較好

37．由上題的表格可以看出，目前公眾在理解基本科學觀點方面存在的主要問題是：__________________________________________________。

（1）正電子發(fā)射計算機斷層顯像（PET）的基本原理是：將放射性同位素¹⁵ O注入人體，參與人體的代謝過程，¹⁵ O在人體內(nèi)衰變放出正電子，與人體內(nèi)負電子相遇而湮滅轉(zhuǎn)化為一對光子，被探測器探測到，經(jīng)計算機處理后產(chǎn)生清晰的圖像，根據(jù)PET原理，回答下列問題。

①寫出¹⁵ O的衰變和正負電子湮滅的方程式            、               。

②將放射性同位素¹⁵ O注入人體，¹⁵ O的主要用途是                  

A．利用它的射線   B．作為示蹤原子

C．參與人體的代謝過程   D．有氧呼吸

③設(shè)電子的質(zhì)量為m，所帶電荷量為q，光速為c，普朗克常量為h，則探測到的正負電子湮滅后生成的光子的波長=                    

④PET中所選的放射性同位素的半衰期應(yīng)                。（填“長”、“短”或“長短均可”）

（2）在原子核物理中，研究核子與核子關(guān)系的最有效途徑是“雙電荷交換反應(yīng)”。這類反應(yīng)的前半部分過程和下述力學模型類似、兩個小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連。在光滑水平直軌道上處于靜止狀態(tài)。在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v₀射向B球，如圖所示。C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個整體D。在它們繼續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度突然被鎖定，不再改變，然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰撞后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連。過一段時間，突然解除鎖定(鎖定及解除鎖定均無機械能損失)。已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。

    ①求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。

②求在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。