已知函數(shù)f（x）=

ax

x+1

（a為非零常數(shù)），定義：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）當(dāng)a=2時，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當(dāng)a確定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值確定．當(dāng)a=2時，試通過對f_k（x）的探究，寫出一個使得集合{f_k（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

已知函數(shù)f（x）=

ax

x+1

（a為非零常數(shù)），定義：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）當(dāng)a=2時，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當(dāng)a確定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值確定．當(dāng)a=2時，試通過對f_k（x）的探究，寫出一個使得集合{f_k（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

（2013•上海）給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．?dāng)?shù)列a₁，a₂，a₃，…滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
（2）求證：對任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按如圖構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，記由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．
（1）若定義函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

，且輸入x0=

49

65

，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；
（2）若定義函數(shù)f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列{x_n}，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值及相應(yīng)數(shù)列{x_n}的通項公式x_n；
（3）若定義函數(shù)f（x）=2x+3，且輸入x₀=-1，求數(shù)列{x_n}的通項公式x_n．