考點(diǎn)一:函數(shù)的性質(zhì)與圖象 函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石.也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫． 復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì).可以從“數(shù) 和“形 兩個(gè)方面.從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手.在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題中得以鞏固.在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的最值及應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中得以深化．具體要求是: 1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義.能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性.以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性.能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性． 2．從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用.歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法． 3．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題.提高學(xué)生用換元.轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力． 函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體.函數(shù)的性質(zhì)可以通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來(lái). 因此.掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵.這也正是“數(shù)形結(jié)合思想 的體現(xiàn).復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面. 1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點(diǎn)法和圖象變換法． 2．會(huì)利用函數(shù)圖象.進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì).解決方程.不等式中的問(wèn)題． 3．用數(shù)形結(jié)合的思想.分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題． 4．掌握知識(shí)之間的聯(lián)系.進(jìn)一步培養(yǎng)觀察.分析.歸納.概括和綜合分析能力． 例1.設(shè)集合A={x|x<-1或x>1}.B={x|log2x>0}.則A∩B=( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1} [解析]:由集合B得x>1 ,\ A∩B={x| x>1}.故選(A) . ［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì).是函數(shù)與集合結(jié)合的試題.難度不大.屬基礎(chǔ)題. 例2. “龜兔賽跑 講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜.驕傲起來(lái).睡了一覺.當(dāng)它醒來(lái)時(shí).發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了.于是急忙追趕.但為時(shí)已晚.烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)-用S1.S2分別表示烏龜和兔子所行的路程.t為時(shí)間.則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 ( ) [解析]:選中.烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí).兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短. ［點(diǎn)評(píng)］函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題.考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用.考查學(xué)生解決問(wèn)題.分析問(wèn)題的能力.在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視. 例3.設(shè) .又記 則 ( ) A．, B．, C．, D．, [解析]:本題考查周期函數(shù)的運(yùn)算.. .據(jù)此...因?yàn)樾?故選. ［點(diǎn)評(píng)］本題考查復(fù)合函數(shù)的求法.以及是函數(shù)周期性.考查學(xué)生觀察問(wèn)題的能力.通過(guò)觀察.關(guān)于總結(jié).歸納.要有從特殊到一般的思想. 例4.函數(shù).若,則的值為 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 [解析]:為奇函數(shù).又 故即. ［點(diǎn)評(píng)］本題考查函數(shù)的奇偶性.考查學(xué)生觀察問(wèn)題的能力.通過(guò)觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過(guò)變換式子與學(xué)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系.使問(wèn)題迎刃而解. 例5.設(shè).函數(shù). ..試討論函數(shù)的單調(diào)性． [解析] 對(duì)于. 當(dāng)時(shí).函數(shù)在上是增函數(shù), 當(dāng)時(shí).函數(shù)在上是減函數(shù).在上是增函數(shù), 對(duì)于. 當(dāng)時(shí).函數(shù)在上是減函數(shù), 當(dāng)時(shí).函數(shù)在上是減函數(shù).在上是增函數(shù). ［點(diǎn)評(píng)］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí).可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理.但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后.函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起.利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性.顯得更加簡(jiǎn)單.方便. 考點(diǎn)二:二次函數(shù) 二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一.它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù).可以以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性.奇偶性.最值等性質(zhì).還可建立起函數(shù).方程.不等式之間的有機(jī)聯(lián)系,作為拋物線.可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系.使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮.靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 同時(shí).有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近.現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系.是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此.從這個(gè)意義上說(shuō).有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn).也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù).可以從兩個(gè)方面入手:一是解析式.二是圖像特征. 從解析式出發(fā).可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理.這種代數(shù)推理.論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng),從圖像特征出發(fā).可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合.這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 例6.設(shè)二次函數(shù).方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí).證明. [解析]:在已知方程兩根的情況下.根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系.可以寫出函數(shù)的表達(dá)式.從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明:由題意可知. . ∴ . ∴ 當(dāng)時(shí).. 又. ∴ . 綜上可知.所給問(wèn)題獲證. ［點(diǎn)評(píng)］:本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系.寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式. 例7.設(shè)二次函數(shù).方程的兩根和滿足． (I)求實(shí)數(shù)的取值范圍, (II)試比較與的大小．并說(shuō)明理由． [解析]法1:(Ⅰ)令. 則由題意可得． 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是． (II).令． 當(dāng)時(shí).單調(diào)增加. 當(dāng)時(shí). .即． 法2:(I)同解法1． (II).由(I)知. ．又于是 . 即.故． 法3:(I)方程.由韋達(dá)定理得 ..于是 ． 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是． (II)依題意可設(shè).則由.得 .故． ［點(diǎn)評(píng)］本小題主要考查二次函數(shù).二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法.考查推理和運(yùn)算能力． 考點(diǎn)三:指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化.分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合運(yùn)用. 例8.已知函數(shù)的圖象如圖所示.則滿足的關(guān)系是( ) A． B． C． D． [解析]:由圖易得取特殊點(diǎn) .選A. ［點(diǎn)評(píng)］:本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)比較大小. 例9.設(shè).函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為.則( ) A． B． C． D． [解析]:設(shè).函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為 .它們的差為. ∴ .4.選D. 例10.若.則( ) A．<< B．<< C． << D． << [解析]:由.令且取知<< 考點(diǎn)四:反函數(shù) 反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題.難度不大.通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系.主要利用方法為: 反函數(shù)的概念及求解步驟:①由方程y=¦,即用y的代數(shù)式表示x..②改寫字母x和y.得出y=¦-1(x),③求出或?qū)懗龇春瘮?shù)的定義域.的值域). 即反解Þ互換Þ求定義域 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系. 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系:注意:在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù).但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴(yán)格單調(diào).如y=. 例11.函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)? ) A． B． C． D． [解析]:函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域.原函數(shù)的值域?yàn)?∴ 選B. ［點(diǎn)評(píng)］:本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系.即:反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域. 例12.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn) . [解析]由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)得: 即函數(shù)過(guò)點(diǎn)則其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn) ［點(diǎn)評(píng)］:本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移. 考點(diǎn)五:抽象函數(shù) 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像.只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù).如函數(shù)的定義域.解析遞推式.特定點(diǎn)的函數(shù)值.特定的運(yùn)算性質(zhì)等.它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn).也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn).由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體.因此理解研究起來(lái)比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì).又能考查學(xué)生的思維能力.所以備受命題者的青睞.那么.怎樣求解抽象函數(shù)問(wèn)題呢.我們可以利用特殊模型法.函數(shù)性質(zhì)法.特殊化方法.聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法.等多種方法從多角度.多層面去分析研究抽象函數(shù)問(wèn)題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2012•浦東新區(qū)一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形PABC，此正方形PABC沿x軸滾動(dòng)（向左或向右均可），滾動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)P位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是y=f（x），x∈R，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為m．
（1）寫出m的值并求出當(dāng)0≤x≤m時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度l；
（2）寫出函數(shù)f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表達(dá)式；研究該函數(shù)的性質(zhì)并填寫下面表格：
函數(shù)性質(zhì) 結(jié)  論
奇偶性
偶函數(shù)
偶函數(shù)
單調(diào)性 遞增區(qū)間
[4k，4k+2]，k∈z
[4k，4k+2]，k∈z
遞減區(qū)間
[4k-2，4k]，k∈z
[4k-2，4k]，k∈z
零點(diǎn)
x=4k，k∈z
x=4k，k∈z
（3）試討論方程f（x）=a|x|在區(qū)間[-8，8]上根的個(gè)數(shù)及相應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　　①

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需要甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤(rùn)1200元．

(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你給設(shè)計(jì)出來(lái)．

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明(1)中哪些生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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某工廠現(xiàn)有甲種原料360 kg，乙種原料290 kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需要甲種原料9 kg，乙種原料3 kg可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4 kg，乙種原料10 kg，可獲利潤(rùn)1 200元．

(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)．

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明(1)中哪個(gè)生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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定義雙曲正弦函數(shù)y=sin hx=
1
2
（ex-e-x），雙曲余弦函數(shù)y=cos hx=
1
2
（ex+e-x）．
（1）各寫出四條雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)．（定義域除外）
（2）給出雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式，探究并證明六者間的平方關(guān)系．
（3）模仿三角函數(shù)中兩角的和與差關(guān)系，探究并證明雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的“兩角”和與差關(guān)系．

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