[例1]已知函數f(x)=2ax-,x∈(0,1］. (1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函數.求a的取值范圍, (2)求f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值. 分析:(1)要使f(x)在(0,1］上為增函數.需f′(x)＞0,x∈(0,1). (2)利用函數的單調性求最大值. 解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函數.∴f′(x)＞0,即a＞-, x∈(0,1］.∴a＞-1. 當a=-1時.f′(x)=-2+對x∈(0,1)也有f′(x)＞0.滿足f(x)在(0,1］上為增函數. ∴a≥-1. 知,當a≥-1時,f(x)在(0,1］上為增函數, ∴［f(x)］max=f(1)=2a-1. 當a＜-1時.令f′(x)=0得x=, ∵0＜＜1,∴0＜x＜時,f′(x)＞0; ＜x≤1時.f′(x)＜0. ∴f(x)在(0, )上是增函數.在(,1]減函數. ∴［f(x)］max=f ()=-3. 解法點評:求參數的取值范圍.凡涉及函數的單調性.最值問題時.用導數的知識解決較簡單. [例2] 已知函數.其中x∈R,θ為參數.且0≤θ<2π． (1)當時cosθ=0.判斷函數f(x)是否有極值, 的極小值大于零.求參數θ的取值范圍, 中所求的取值范圍內的任意參數θ.函數f(x)在區(qū)間內都是增函數.求實數的取值范圍． 解:=4x3.則f(x)在內是增函數.故無極值. (Ⅱ)f′(x)=12x2-6xcosθ.令f′(x)=0.得 由(Ⅰ).只需分下面兩種情況討論. ①當cosθ>0時.隨x的變化f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表: x 0 f/(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此.函數f(x)在處取得極小值.且 要使.必有.可得 由于.故 ②當時cosθ<0.隨x的變化.f′(x)的符號及的變化情況如下表: + 0 - 0 + 極大值 極小值 因此.函數f(x)在x=0處取得極小值f(0).且 若f(0) >0.則cosx>0.矛盾.所以當cosx<0時.f(x)的極小值不會大于零. 綜上.要使函數f(x)在內的極小值大于零.參數θ的取值范圍為. 知.函數f(x)在區(qū)間與內都是增函數. 由題設.函數f(x)在內是增函數.則a須滿足不等式組 或 由(II).參數時時..要使不等式關于參數恒成立.必有.即. 綜上.解得或. 所以的取值范圍是. 特別提示:對于求單調區(qū)間.極值.最值問題.根據導數的零點把定義區(qū)間分開.列出表格.再分析各區(qū)間導數的符號.進而確定單調區(qū)間.極值最值.清楚直觀不易出錯. [例3] 統(tǒng)計表明.某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關于行駛速度x的函數解析式可以表示為:已知甲.乙兩地相距100千米. (I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地要耗油多少升? (II)當汽車以多大的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? 解:(I)當時.汽車從甲地到乙地行駛了小時. 要耗油(升). 答:當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油17.5升. (II)當速度為千米/小時時.汽車從甲地到乙地行駛了小時.設耗油量為升. 依題意得 令得 當時.是減函數, 當時.是增函數. 當時.取到極小值 因為在上只有一個極值.所以它是最小值. 答:當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時.從甲地到乙地耗油最少.最少為11.25升. 考查知識:函數.導數及其應用等基本知識.考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力. [例4] 設函數分別在 處取得極小值 極大值 平面上點A B的坐標分別為 ,該平面上動點P滿足,點Q是點P關于直線的對稱點 求(Ⅰ)點A B的坐標 , (Ⅱ)動點Q的軌跡方程 解: (Ⅰ)令解得 當時,, 當時, ,當時, 所以,函數在處取得極小值,在取得極大值, 故, 所以, 點A B的坐標為 (Ⅱ) 設..PQ的中點在上.. 所以. ∴ ∵ ∴ ∴ 化簡得 [研討.欣賞]=,其中a , b , c是以d為公差的等差數列.且a＞0,d＞0．設x0為f(x)的極小值點,在［1-］上.f/(x)在x1處取得最大值.在x2處取得最小值.將點(x0,f(x0)).(x1,f/(x1)).(x2,f(x2))依次記為A. B. C (I)求x0的值 (II)若⊿ABC有一邊平行于x軸.且面積為.求a ,d的值 解(Ⅰ): 令.得或 當時.. 所以在處取極小值.即. (Ⅱ)法一: ∴的圖象開口向上.對稱軸方程是. .知 ∴在上的最大值為.則. 又由.知 ∴當時.取得最小值.即 .. . 由△ABC有一條邊平行于x軸.得AC平行于x軸.所以 .即 ① 又由△ABC的面積為.得 . 利用.得. ② 聯立①.②可得. 法二:. 由知在上的最大值為.即 由.知. ∴當時.取得最小值.即 . . 由△ABC有一條邊平行于x軸.得AC平行于x軸.所以 -.即. ① 又由△ABC的面積為.得 . 利用.得. ② 聯立①.②可得. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+
1
2
恒成立，且當x＞0時，f(x)＞-
1
2
恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設條件的一個特殊的具體函數；
（2）判定函數f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（3）若函數F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=
a，(a≥b)
b，(a＜b)
）有三個零點x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范圍．

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例1、已知函數f(x)=
1+x
1-x
的定義域為A，函數y=f[f（x）]的定義域為B，則（　�。�
A、A∪B=BB、A不屬于B
C、A=BD、A∩B=B

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已知函數f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數x，y，都有數學公式恒成立，且當x＞0時，數學公式恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設條件的一個特殊的具體函數；
（2）判定函數f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（3）若函數F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中數學公式）有三個零點x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范圍．

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例4、已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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【例】已知f（x）為R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=sin3x+2x2－1，求f（x）的解析式

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