[例1]已知函數(shù)f(x)=2ax-,x∈(0,1］. (1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函數(shù).求a的取值范圍, (2)求f(x)在區(qū)間(0,1］上的最大值. 分析:(1)要使f(x)在(0,1］上為增函數(shù).需f′(x)＞0,x∈(0,1). (2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最大值. 解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函數(shù).∴f′(x)＞0,即a＞-, x∈(0,1］.∴a＞-1. 當(dāng)a=-1時(shí).f′(x)=-2+對(duì)x∈(0,1)也有f′(x)＞0.滿足f(x)在(0,1］上為增函數(shù). ∴a≥-1. 知,當(dāng)a≥-1時(shí),f(x)在(0,1］上為增函數(shù), ∴［f(x)］max=f(1)=2a-1. 當(dāng)a＜-1時(shí).令f′(x)=0得x=, ∵0＜＜1,∴0＜x＜時(shí),f′(x)＞0; ＜x≤1時(shí).f′(x)＜0. ∴f(x)在(0, )上是增函數(shù).在(,1]減函數(shù). ∴［f(x)］max=f ()=-3. 解法點(diǎn)評(píng):求參數(shù)的取值范圍.凡涉及函數(shù)的單調(diào)性.最值問(wèn)題時(shí).用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決較簡(jiǎn)單. [例2] 已知函數(shù).其中x∈R,θ為參數(shù).且0≤θ<2π． (1)當(dāng)時(shí)cosθ=0.判斷函數(shù)f(x)是否有極值, 的極小值大于零.求參數(shù)θ的取值范圍, 中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ.函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解:=4x3.則f(x)在內(nèi)是增函數(shù).故無(wú)極值. (Ⅱ)f′(x)=12x2-6xcosθ.令f′(x)=0.得 由(Ⅰ).只需分下面兩種情況討論. ①當(dāng)cosθ>0時(shí).隨x的變化f′(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表: x 0 f/(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此.函數(shù)f(x)在處取得極小值.且 要使.必有.可得 由于.故 ②當(dāng)時(shí)cosθ<0.隨x的變化.f′(x)的符號(hào)及的變化情況如下表: + 0 - 0 + 極大值 極小值 因此.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0).且 若f(0) >0.則cosx>0.矛盾.所以當(dāng)cosx<0時(shí).f(x)的極小值不會(huì)大于零. 綜上.要使函數(shù)f(x)在內(nèi)的極小值大于零.參數(shù)θ的取值范圍為. 知.函數(shù)f(x)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù). 由題設(shè).函數(shù)f(x)在內(nèi)是增函數(shù).則a須滿足不等式組 或 由(II).參數(shù)時(shí)時(shí)..要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立.必有.即. 綜上.解得或. 所以的取值范圍是. 特別提示:對(duì)于求單調(diào)區(qū)間.極值.最值問(wèn)題.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)把定義區(qū)間分開(kāi).列出表格.再分析各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào).進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.極值最值.清楚直觀不易出錯(cuò). [例3] 統(tǒng)計(jì)表明.某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度x的函數(shù)解析式可以表示為:已知甲.乙兩地相距100千米. (I)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí).從甲地到乙地要耗油多少升? (II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí).從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? 解:(I)當(dāng)時(shí).汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí). 要耗油(升). 答:當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí).從甲地到乙地耗油17.5升. (II)當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí).汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí).設(shè)耗油量為升. 依題意得 令得 當(dāng)時(shí).是減函數(shù), 當(dāng)時(shí).是增函數(shù). 當(dāng)時(shí).取到極小值 因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值.所以它是最小值. 答:當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí).從甲地到乙地耗油最少.最少為11.25升. 考查知識(shí):函數(shù).導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí).考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. [例4] 設(shè)函數(shù)分別在 處取得極小值 極大值 平面上點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為 ,該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 求(Ⅰ)點(diǎn)A B的坐標(biāo) , (Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程 解: (Ⅰ)令解得 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), 所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值, 故, 所以, 點(diǎn)A B的坐標(biāo)為 (Ⅱ) 設(shè)..PQ的中點(diǎn)在上.. 所以. ∴ ∵ ∴ ∴ 化簡(jiǎn)得 [研討.欣賞]=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列.且a＞0,d＞0．設(shè)x0為f(x)的極小值點(diǎn),在［1-］上.f/(x)在x1處取得最大值.在x2處取得最小值.將點(diǎn)(x0,f(x0)).(x1,f/(x1)).(x2,f(x2))依次記為A. B. C (I)求x0的值 (II)若⊿ABC有一邊平行于x軸.且面積為.求a ,d的值 解(Ⅰ): 令.得或 當(dāng)時(shí).. 所以在處取極小值.即. (Ⅱ)法一: ∴的圖象開(kāi)口向上.對(duì)稱軸方程是. .知 ∴在上的最大值為.則. 又由.知 ∴當(dāng)時(shí).取得最小值.即 .. . 由△ABC有一條邊平行于x軸.得AC平行于x軸.所以 .即 ① 又由△ABC的面積為.得 . 利用.得. ② 聯(lián)立①.②可得. 法二:. 由知在上的最大值為.即 由.知. ∴當(dāng)時(shí).取得最小值.即 . . 由△ABC有一條邊平行于x軸.得AC平行于x軸.所以 -.即. ① 又由△ABC的面積為.得 . 利用.得. ② 聯(lián)立①.②可得. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+
1
2
恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞-
1
2
恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設(shè)條件的一個(gè)特殊的具體函數(shù)；
（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=
a，(a≥b)
b，(a＜b)
）有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范圍．

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例1、已知函數(shù)f(x)=
1+x
1-x
的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=f[f（x）]的定義域?yàn)锽，則（　�。�
A、A∪B=BB、A不屬于B
C、A=BD、A∩B=B

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已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有數(shù)學(xué)公式恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，數(shù)學(xué)公式恒成立；
（1）求f（0）的值，并例舉滿足題設(shè)條件的一個(gè)特殊的具體函數(shù)；
（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中數(shù)學(xué)公式）有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范圍．

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例4、已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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【例】已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=sin3x+2x2－1，求f（x）的解析式

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