[例1] 已知a>b(ab),比較與的大小. 錯解: a>b(ab).<. 錯因:簡單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小.小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是:當(dāng)兩數(shù)同號時.大數(shù)的倒數(shù)必定小.小數(shù)的倒數(shù)必定大. 正解:.又 a>b(ab). (1)當(dāng)a.b同號時.即a>b>0或b<a<0時.則ab>0,b-a<0, ,<. (2)當(dāng)a.b異號時.則a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 當(dāng)a.b為兩個不相等的正實數(shù)時.下列各式中最小的是( ) A. B. C. D. 錯解:所以選B. 錯因是由于在..中很容易確定最小.所以易誤選B.而事實上三者中最小者.并不一定是四者中最小者.要得到正確的結(jié)論.就需要全面比較.不可遺漏與前三者的大小比較. 正解:由均值不等式及a2+b22ab,可知選項A.B.C中.最小.而＝.由當(dāng)ab時.a+b>2,兩端同乘以.可得(a+b)·＞2ab, ＜.因此選D. [例3] 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值. 錯解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 錯因:上面的解答中.兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab.第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=.顯然.這兩個條件是不能同時成立的.因此.8不是最小值. 正解:原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 = (1+)+4. 由ab≤()2= 得:1-2ab≥1-=, 且≥16.1+≥17. ∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時.等號成立). ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是. [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1.試比較的大小. 解法一: ∵0 < 1 - x2 < 1, ∴ ∴ 解法二: ∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴ 解法三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴ ∴左 - 右 = ∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴ ∴ [例5]已知x2 = a2 + b2.y2 = c2 + d2.且所有字母均為正.求證:xy≥ac + bd 證:證法一∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ∴要證:xy≥ac + bd 只需證:(xy)2≥(ac + bd)2 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式.顯然成立 ∴xy≥ac + bd 證法二xy = ≥ 證法三 ∵x2 = a2 + b2.∴不妨設(shè)a = xsina, b = xcosa y2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos≤xy [例6] 已知x > 0.求證: 證:構(gòu)造函數(shù) 則. 設(shè)2≤a<b 由 顯然 ∵2≤a<b ∴a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x)在上單調(diào)遞增.∴左邊 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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21、例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），當(dāng)x∈[-1，1]時，|f（x）|≤1
（1）證明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]時，證明|g（x）|≤2．
（3）設(shè)a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時，g（x）max=2，求f（x）．

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例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），當(dāng)x∈[-1，1]時，|f（x）|≤1
（1）證明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]時，證明|g（x）|≤2．
（3）設(shè)a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時，g（x）max=2，求f（x）．

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