二項(xiàng)式定理的應(yīng)用:二項(xiàng)式定理的主要應(yīng)用有近似計(jì)算.證明整除性問題或求余數(shù).應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮證明不等式. 如5精確到0.001近似值為 0.990 , (2)被4除所得的余數(shù)為 , (3)今天是星期一.10045天后是星期 二 , (4)求證:能被64整除, (5)求證:6. =Ca+ Cab+-+ Cab+-+Cb n∈N.它共有n+1項(xiàng).其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù).Cab叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng).用T表示.即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng).T＝Cab. 特別提醒:(1)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念.但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí).系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù).如在的展開式中.第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.第r+1項(xiàng)的系數(shù)為,而的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù), (2)當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù), (3)審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)?求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)? 如:(1)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 , (2)的展開式中的的系數(shù)為 , (3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是 3個(gè) , (4)展開后所得的的多項(xiàng)式中.系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有 7 項(xiàng), (5)若的值能被5整除.則的可 取值的個(gè)數(shù)有 5 個(gè), (6)若二項(xiàng)式按降冪展開后.其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng).則 的取值范圍是 , (7)函數(shù)的最大值是 . (2).在二項(xiàng)式定理中.對(duì)a,b取不同的值可推出許多常用的式子: =1+Cx+Cx+-+Cx+-+x (2) C+ C+-+ C+-+C=2 (3) C+ C++-= C++-=2 應(yīng)用“賦值法 可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.“奇數(shù) 項(xiàng) 系數(shù)和為.以及“偶數(shù) 項(xiàng) 系數(shù)和為. 如(1)如果.則 , (2)化簡得 (3)已知.則等于 , (4).則+ ＝ , (5)設(shè),則 . (3).楊輝三角: 1 2 1 (a+b) 1 2 1 (a+b) 1 3 3 1 (a+b) 1 4 6 4 1 (a+b) 1 5 10 10 5 1 (a+b) 1 6 15 20 15 6 1 (a+b) 表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和. 當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). (4).二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì): 1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.即 2)增減性與最大值:當(dāng)r≤時(shí).二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大.當(dāng)r≥時(shí),C的值逐漸減小.且在中間取得最大值.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值 如(1)在二項(xiàng)式的展開式中.系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為 , (2)在的展開式中.第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).則＝ 18 . (5).求二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)常先判斷系數(shù)的絕對(duì)值的單調(diào)性.求二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)在上面的基礎(chǔ)上再分析符號(hào). 設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大.由不等式組確定.或由來確定. 如求的展開式中.系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，我們知道楊輝三角中的數(shù)具有兩個(gè)性質(zhì)：①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是“對(duì)稱”的，即第1項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，……；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和．我們也知道，性質(zhì)①對(duì)應(yīng)于組合數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：．

(1)試寫出性質(zhì)②所對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)；

(2)請利用組合數(shù)的計(jì)算公式對(duì)(1)中組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)作出證明．

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（本題共2小題，第一小題4分，第二小題8分，共12分）

在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，我們知道楊輝三角中的數(shù)具有兩個(gè)性質(zhì)：① 每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是“對(duì)稱”的，即第1項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，；② 圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和．我們也知道，性質(zhì)①對(duì)應(yīng)于組合數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：．

（1）試寫出性質(zhì)②所對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)；

（2）請利用組合數(shù)的計(jì)算公式對(duì)（1）中組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)作出證明．

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我們知道，對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學(xué)有列方程解應(yīng)用題，中學(xué)有等積法求高…
請結(jié)合二項(xiàng)式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
證明：
（1）
n
r=0
(
C
r
n
)2=
C
n
2n
；  
（2）
m
r=0
(
C
r
n
C
m-r
n
)=
C
m
2n
．

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我們知道，對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學(xué)有列方程解應(yīng)用題，中學(xué)有等積法求高…
請結(jié)合二項(xiàng)式定理，利用等式（1+x）n•（1+x）n=（1+x）2n（n∈N*）
證明：
（1）；  
（2）．

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在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，我們知道楊輝三角中的數(shù)具有兩個(gè)性質(zhì)：①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是“對(duì)稱”的，即第1項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，…；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和．我們也知道，性質(zhì)①對(duì)應(yīng)于組合數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：cnm=Cnn-m．
（1）試寫出性質(zhì)②所對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)；
（2）請利用組合數(shù)的計(jì)算公式對(duì)（1）中組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)作出證明．

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