題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝
，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝
，an+1＝f(an)，bn＝
－1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；
(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．
【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.
由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，
也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，
∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝
.…………………………………………4分
(2)an＋1＝f(an)＝
(n∈N*)，bn＝－1， ∴
＝
＝
＝
，
∴{bn}為等比數(shù)列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝
－1＝，
bn＝b1qn－1＝
n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分
(3)證明：∵anbn＝an
＝1－an＝1－
＝
，
∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝
＋
＋…＋<
＋
＋…＋
＝
＝1－<1(n∈N*)．
設(shè)拋物線
：
（
＞0）的焦點(diǎn)為
，準(zhǔn)線為
，
為上一點(diǎn)，已知以為圓心，
為半徑的圓交于
,
兩點(diǎn).
(Ⅰ)若
,
的面積為
，求的值及圓的方程；
(Ⅱ)若，，三點(diǎn)在同一條直線
上，直線
與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.
【解析】設(shè)準(zhǔn)線于
軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為
，
則|FE|=，
=，E是BD的中點(diǎn)，
(Ⅰ) ∵，∴=
，|BD|=
，
設(shè)A(
，
)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=
，
∵的面積為，∴
=
=
=，解得=2，
∴F(0,1), FA|=
， ∴圓F的方程為：
；
(Ⅱ) 解析1∵，，三點(diǎn)在同一條直線上, ∴
是圓的直徑，
,
由拋物線定義知
，∴
，∴的斜率為
或－，
∴直線的方程為：
，∴原點(diǎn)到直線的距離
=
，
設(shè)直線的方程為：
，代入得，
，
∵與只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴
=
，∴
，
∴直線的方程為：
，∴原點(diǎn)到直線的距離
=
，
∴坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值為3.
解析2由對(duì)稱性設(shè)
，則
點(diǎn)
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得：
得：
，直線
切點(diǎn)
直線
坐標(biāo)原點(diǎn)到
距離的比值為
先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解一元二次不等式
.
解：∵
，
∴
.
由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，有
（1）
（2）
解不等式組（1），得
，
解不等式組（2），得
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
故的解集為或，
即一元二次不等式的解集為或.
的解集.已知函數(shù)
，數(shù)列
的項(xiàng)滿足：
，（1）試求
（2） 猜想數(shù)列
的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系
, 
, 
第二問中，由（1）猜想得：
然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
（2）由（1）猜想得：
（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) 
,
,命題成立
ii) 假設(shè)
時(shí)，
成立
則
時(shí)，
綜合i),ii) : 成立
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.
【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）證明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
設(shè)平面PCD的法向量
，
則
,即
.不防設(shè)
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為
.
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）證明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如圖，作
于點(diǎn)H，連接DH.由,
,可得
.
因此
,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值為.
（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故
或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
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