題目列表(包括答案和解析)
（(本小題共13分)
若數(shù)列
滿足
，數(shù)列
為
數(shù)列，記
=
.
（Ⅰ）寫出一個(gè)滿足
，且
〉0的數(shù)列；
（Ⅱ）若
，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是
=2011；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得
=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。
【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）
（Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以
.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a1000
1，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故
是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。
（本小題滿分13分）某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求，使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①
；②
；③
．（以上三式中
均為常數(shù)，且
）
（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)
（2）若
，
，求出所選函數(shù)
的解析式（注：函數(shù)定義域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此類推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．
（本小題滿分13分）某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求，使價(jià)格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①
；②
；③
．（以上三式中
均為常數(shù)，且
）
（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)
（2）若
，
，求出所選函數(shù)
的解析式（注：函數(shù)定義域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此類推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌．
；②
；③
．（以上三式中
均為常數(shù)，且
）
，
，求出所選函數(shù)
的解析式（注：函數(shù)定義域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此類推）；已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時(shí)，
取最小值
于是對(duì)一切
恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令
則
當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞減.
故當(dāng)
時(shí)，
取最大值
.因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞增.故當(dāng)
，
即
從而
，
又
所以
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
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